网络流(一)——最大流
前言
网络流这个算法我一直都很想学,但是一直都没能学会,最近又花了一些时间去理解了一遍,才总算勉强弄懂了如何用\(Dinic\)算法去求最大流。
网络流的性质
网络流有3个很重要的性质:
- 容量限制:网络流的图上每条边都有一个容量限制\(Cap_{u,v}\)。即从点\(u\)到点\(v\)之间的流量\(Flow_{u,v}≤Cap_{u,v}\)。
- 反对称性:任意两个点\(u,v\)之间从\(u\)到\(v\)和从\(v\)到\(u\)的流量互为相反数,即\(Flow_{u,v}=-Flow_{v,u}\)。
- 流量平衡:对于任意两个不为源点且不为汇点的点\(u\),保证它的流入量总和与流出量总和相等,即\(\sum_{x=1}^nFlow_{u,x}=\sum_{x=1}^nFlow_{x,u}\),且源点的流出量总和与汇点的流入量总和相等,即\(\sum_{x=1}^n Flow_{s,x}=\sum_{x=1}^n Flow_{x,t}\)。
残量网络
\(Dinic\)算法中一个很重要的概念就是残量网络。
一张网络流的图上的残量网络,就是由这张图上所有\(Flow_{u,v}<Cap_{u,v}\)的边组成的图。
例如下面这张图:(\(\color{red}{红色}\)为容量,\(\color{blue}{蓝色}\)为流量)
而它的残量网络就是这样的:
那么残量网络有什么用呢?
对于残量网络中一条从原点到汇点的路径,若这条路径上最小的权值为\(f\),那我们就可以增加\(f\)的流量,即让从源点\(s\)出发的流量和到达汇点\(t\)的流量增加\(f\),并将残量网络中这条路径上的权值全部减少\(f\) 。当某条边权值为0时,就将这条边从残量网络上删去。
不断重复上面过程,直至没有一条从\(s\)通向\(t\)的路径。
可以证明,此时的流量就是这张图的最大流。
具体实现
上面所说的一切的具体实现,简单而言就是一个\(BFS\)和一个\(DFS\)。
\(BFS\)
作用:\(BFS\)的作用是判断残量网络中源点与汇点是否联通,在\(BFS\)的过程中,我们还要记录每一个点被访问到的深度(这也是要用\(BFS\)而不能用\(DFS\)的原因),方便之后的\(DFS\)。
要点:在找到一条 从\(s\)到\(t\) 的路径之后,就可以立刻结束\(BFS\)了。
\(DFS\)
作用:\(DFS\)的作用是找出残量网络中一条从源点通向汇点的路,同时还要计算出能够增加的流量。
要点:①\(DFS\)的时候,每一个节点一定要转移至一个深度比它恰好多1的节点。②每一个节点在每次\(DFS\)时可以记录下当前使用到的边,每次访问到这个节点时可以直接从上次访问到的边继续往下搜索,避免重复。③当某一时刻剩余流量为0时,就离开结束搜索,可以起到一定的优化作用。
代码
struct Dinic//利用Dinic算法求最大流
{
int ans,q[N+5],cur[N+5],Depth[N+5];//ans记录答案,q[]是BFS队列,cur[]记录每个节点当前使用到的边
inline bool BFS()//求出是否存在一条从源点到汇点的路径
{
register int i,k,H=1,T=1;//初始化队列头与尾皆为1
for(q[1]=s,i=1;i<=n;++i) Depth[i]=0;Depth[s]=1;//初始化每个节点的深度皆为1,而源点的深度为1
while(H<=T&&!Depth[t])//只要队列未空,且还未找到一条从源点到汇点的路径
{
for(i=lnk[k=q[H++]];i;i=e[i].nxt)//枚举每一个节点
if(e[i].Cap>e[i].Flow&&!Depth[e[i].to]) Depth[e[i].to]=Depth[k]+1,q[++T]=e[i].to;//如果这条路径的残量大于0,且还没被访问过,就把它加入队列
}
return Depth[t];//如果存在到达汇点的路径,就返回true,否则返回false
}
inline int DFS(int x,int f)//DFS求出在剩余流量为f时,从x到达汇点可以添加的流量之和
{
if(!(x^t)||!f) return f;//如果已经到达汇点,或者剩余流量为0,就返回当前流量
register int &i=cur[x];register int t,res=0;//注意这里的i前面加了一个&,因为cur[x]记录的是x当前使用到的边,要不断更新
for(;i;i=e[i].nxt)//枚举每一个节点
{
if(Depth[x]+1==Depth[e[i].to]&&e[i].Cap>e[i].Flow&&(t=DFS(e[i].to,min(f,e[i].Cap-e[i].Flow)))>0)//如果这个节点深度等于x的深度加1,且这条边残量大于0,并且可以添加的流量大于0,就更新
{
e[i].Flow+=t,e[((i-1)^1)+1].Flow-=t,res+=t;//将这条变得流量加上t,将这条边的反向边的流量减去t,并将res加上t
if(!(f-=t)) return res;//如果剩余流量为0,就退出程序
}
}
return res;//返回res
}
inline void MaxFlow()//求最大流
{
register int i;
while(BFS())//只要还有从源点到汇点的路径
{
for(i=1;i<=n;++i) cur[i]=lnk[i];//先初始化cur[]数组为lnk[]数组
ans+=DFS(s,1e9);//更新ans
}
}
}S;