初学矩阵乘法

前言

何谓矩阵乘法？就是矩阵之间的乘法。

矩阵乘法并不是简单地将两个矩阵中对应位置上对应元素相乘，而是更为复杂。

矩阵乘法应用广泛，典例就是优化递推。

矩阵乘法

首先我们要知道，矩乘是一个\(n*m\)的矩阵乘上一个\(m*k\)的矩阵，得到一个\(n*k\)的矩阵。

由此容易发现，矩乘是不满足交换律的。

其中，第一个矩阵第\(x\)行的元素，与第二个矩阵第\(y\)列的元素，逐一对应相乘之后再取得的和，就是答案矩阵中第\(x\)和第\(y\)列的值。

用式子表示，就是：

\[res_{x,y}=\sum_{i=1}^mA_{x,i}\cdot B_{i,y} \]

用代码表示，就是：（注意，字母表示有点出入）

inline Mat operator * (const Mat& A,const Mat& B)
{
	Mat res(A.n,B.m);register int i,j,k;
	for(k=1;k<=A.m;++k) for(i=1;i<=A.n;++i)
		for(j=1;j<=B.m;++j) res.v[i][j]+=A.v[i][k]*B,v[k][j];
	return res;
}

矩阵快速幂

矩阵快速幂与普通的快速幂类似，主要是要注意答案初始化的问题，一般会初始化为左上-右下对角线上都是\(1\)，其他位置都是\(0\)。

做矩阵快速幂的矩阵应该是形如\(n*n\)的矩阵。

代码实现如下：

inline Mat operator ^ (Mat x,int y)
{
	Mat t(x.n,x.n);for(int i=1;i<=t.n;++i) t.v[i][i]=1;
	W(y) y&1&&(t=t*x,0),x=x*x,y>>=1;return t;
}

应用

对于一个递推式，我们可以通过求出其转移矩阵，然后矩阵快速幂来快速求出答案。

而在一些数据结构中也可以用它来较好地维护信息。