【洛谷7515】[省选联考 2021 A 卷] 矩阵游戏（差分约束）

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• 给出一个\((n-1)\times(m-1)\)的矩阵\(b\)满足\(b_{i,j}=a_{i,j}+a_{i,j+1}+a_{i+1,j}+a_{i+1,j+1}\)，要求构造一个\(n\times m\)的矩阵\(a\)满足所有数都在\([0,10^6]\)范围内。
• 数据组数\(\le10\)，\(n,m\le300\)

不论值域的随意构造

先不管\([0,10^6]\)这个值域限制，想要构造一组答案还是很简单的。

我们不妨让最后一行和最后一列的数都为\(0\)，然后从右下角开始枚举，则枚举到每个位置时它右方、下方、右下方的位置上的值都已经确定了，那么这个位置上的值也自然就确定了。

差分约束

考虑如果给某一行或某一列交错\(\pm1\)是不会影响和的。

我们给奇数行交错\(\mp1\)，给偶数行交错\(\pm1\)；给奇数列交错\(\pm1\)，给偶数列交错\(\mp1\)。

发现就相当于要满足：

\[0\le a_{i,j}+\begin{cases}X_i-Y_j&i+j\texttt{ is odd},\\Y_j-X_i&i+j\texttt{ is even}\end{cases}\le 10^6 \]

相当于对于每个位置都可以列出两个差分约束的方程。

经典差分约束建图之后，跑遍\(SPFA\)即可（如果存在负环说明无解）。

代码：\(O(Tnm(n+m))\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 300
#define add(x,y,z) (G[x].push_back(make_pair(y,z))) 
using namespace std;
int n,m,a[N+5][N+5],b[N+5][N+5];vector<pair<int,int> > G[2*N+5];vector<pair<int,int> >::iterator it;
int ct[2*N+5],IQ[2*N+5];long long dis[2*N+5];queue<int> q;I bool SPFA()//SPFA
{
	RI i,k,y;for(i=1;i<=n+m;++i) ct[i]=dis[i]=0,IQ[i]=1,q.push(i);W(!q.empty())
	{
		if(IQ[k=q.front()]=0,q.pop(),++ct[k]>n+m+1) {W(!q.empty()) q.pop();return 0;}//判负环
		for(it=G[k].begin();it!=G[k].end();++it)
			dis[k]+it->second<dis[y=it->first]&&(dis[y]=dis[k]+it->second,!IQ[y]&&(q.push(y),IQ[y]=1));
	}return 1;
}
int main()
{
	RI Tt,i,j;scanf("%d",&Tt);W(Tt--)
	{
		for(scanf("%d%d",&n,&m),i=1;i<=n+m;++i) G[i].clear();//清空图
		for(i=1;i^n;++i) for(j=1;j^m;++j) scanf("%d",&b[i][j]);
		for(i=n;i;--i) for(j=m;j;--j) a[i][j]=i==n||j==m?0:b[i][j]-a[i+1][j]-a[i][j+1]-a[i+1][j+1],//随意构造
			(i^j)&1?(add(i,n+j,a[i][j]),add(n+j,i,1e6-a[i][j])):(add(n+j,i,a[i][j]),add(i,n+j,1e6-a[i][j]));//列出两个差分方程建图
		if(!SPFA()) {puts("NO");continue;}puts("YES");
		for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j) printf("%d%c",a[i][j]+((i^j)&1?1:-1)*(dis[i]-dis[n+j])," \n"[j==m]);//输出答案
	}return 0;
}