【洛谷7325】[WC2021] 斐波那契（数论）
- 定义\(F_0=a,F_1=b,F_i=(F_{i-1}+F_{i-2})\ mod\ m\)。
- 初始给定\(m\)，每次询问给出\(a,b\)，求最小的\(n\)满足\(F_n=0\)。
- \(n,m\le10^5\)
斐波那契数
首先我们发现\(F_i=aFib_{i-2}+bFib_{i-1}\)（可以归纳证明）。
那么现在就是要找到最小的\(n\)使得\(aFib_{n-2}+bFib_{n-1}\equiv0(mod\ m)\)。
方便起见令把原本的\(b\)变成\(-b\)，那么就得到\(aFib_{n-2}\equiv bFib_{n-1}(mod\ m)\)。
如果\(m\)是质数，可以得到\(\frac ab\equiv\frac{Fib_{n-1}}{Fib_{n-2}}(mod\ m)\)，直接预处理出\(p_x\)表示\(\frac{Fib_{n-1}}{Fib_{n-2}}\equiv x(mod\ m)\)的最小的\(n\)，询问时查询\(p_{\frac ab}\)即可。
可惜\(m\)不一定是质数，但此时我们需要注意一个关键性质：\(Fib_{n-1}\perp Fib_{n-2}\)。
证明就是模拟辗转相减法的过程，\(gcd(Fib_{n-1},Fib_{n-2})=gcd(Fib_{n-2},Fib_{n-3})=...=gcd(1,0)=1\)。
因此，我们首先约去\(gcd(a,b,m)\)，得到\(a'Fib_{n-2}\equiv b'Fib_{n-1}(mod\ m')\)。
由于模\(m\)意义下两式相等，必须满足\(gcd(a'Fib_{n-2},m')=gcd(b'Fib_{n-1},m')\)。
设\(p=gcd(a',m'),q=gcd(b',m')\)，因为已经约去过\(gcd(a,b,m)\)，显然有\(p\perp q\)。
因此，我们得到\(gcd(Fib_{n-1},m')=p,gcd(Fib_{n-2},m')=q\)。
在两式中同时约去\(pq\)得到\(a''Fib_{n-2}'\equiv b''Fib_{n-1}'(mod\ {\frac{m'}{pq}})\)。
此时由于所有数都与模数互质，可以套用先前质数的做法，得到\(\frac{a''}{b''}\equiv\frac{Fib_{n-1}'}{Fib_{n-2}'}(mod\ \frac{m'}{pq})\)。
所以只要对于每个\(m'\)的每个三元组\((x,y,v)\)记录满足\(gcd(Fib_{n-2},m')=x\)，\(gcd(Fib_{n-1},m')=y\)，\(\frac{Fib_{n-1}\div y}{Fib_{n-2}\div x}\equiv v(mod\ \frac{m'}{xy})\)的最小的\(n\)即可。
由于斐波那契数在模\(m\)意义下的循环节是\(O(m)\)的，直接暴力枚举直至产生循环为止即可。
代码：\(O(\sigma(m)logm)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
using namespace std;
int m;I int gcd(CI x,CI y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
I void exgcd(CI x,CI y,int& a,int& b) {y?(exgcd(y,x%y,b,a),b-=x/y*a):(a=1,b=0);}
I int Inv(CI x,CI y) {RI a,b;return exgcd(x,y,a,b),(a%y+y)%y;}
struct Data {int gx,gy,v;I Data(CI x=0,CI y=0,CI z=0):gx(x),gy(y),v(z){}
I bool operator < (Con Data& o) Con {return gx^o.gx?gx<o.gx:(gy^o.gy?gy<o.gy:v<o.v);}};map<Data,int> p[N+5];
namespace FastIO
{
#define FS 100000
#define tc() (FA==FB&&(FB=(FA=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),FA==FB)?EOF:*FA++)
#define pc(c) (FC==FE&&(clear(),0),*FC++=c)
int OT;char oc,FI[FS],FO[FS],OS[FS],*FA=FI,*FB=FI,*FC=FO,*FE=FO+FS;
I void clear() {fwrite(FO,1,FC-FO,stdout),FC=FO;}
Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!isdigit(oc=tc()));W(x=(x<<3)+(x<<1)+(oc&15),isdigit(oc=tc()));}
Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
Tp I void writeln(Ty x) {W(OS[++OT]=x%10+48,x/=10);W(OT) pc(OS[OT--]);pc('\n');}
I void NA() {pc('-'),pc('1'),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
int main()
{
RI Qt,i,j,x,y,z,gx,gy,v,m_;for(read(Qt,m),i=2;i<=m;++i) if(!(m%i)) for(j=2,x=y=1;;++j)//对于m的每个因数暴力预处理
{
m_=i/(gx=gcd(x,i))/(gy=gcd(y,i)),v=1LL*(y/gy)*Inv(x/gx,m_)%m_,!p[i].count(Data(gx,gy,v))&&(p[i][Data(gx,gy,v)]=j);//记录每个三元组最早的n
if(z=(x+y)%i,x=y,y=z,x==1&&y==1) break;//如果产生循环节
}
RI g;W(Qt--)
{
if(read(x,y),!x) {writeln(0);continue;}if(!y) {writeln(1);continue;}y=(m-y)%m;//特判x=0或y=0，将y变成-y
g=gcd(gcd(x,y),m),m_=m/g/(gx=gcd(x/=g,m/g))/(gy=gcd(y/=g,m/g)),v=1LL*(x/gx)*Inv(y/gy,m_)%m_;//计算出三元组
p[m/g].count(Data(gy,gx,v))?writeln(p[m/g][Data(gy,gx,v)]):NA();//如果存在就输出，否则无解
}return clear(),0;
}
