【洛谷6940】[ICPC2017 WF] Visual Python++（扫描线）

点此看题面

• 给定\(n\)个左上角和\(n\)个右下角，要求将它们匹配，使得\(n\)个矩形的边界无交，或判断无解。
• \(n\le10^5\)

构造方案

对于当前右下角\((x,y)\)，容易想到去找到满足\(a\le x,b\le y\)的所有尚未匹配的左上角\((a,b)\)中\(b\)最大的那个，让\((a,b)\)和\((x,y)\)匹配。

然后发现其实这是唯一构造方案，因为假设选择了另一个满足\(c\le x,d\le y\)的尚未匹配的左上角\((c,d)\)，则\((a,b)\)要么被困在了矩形内（\(a\ge c\)），要么就因为这个矩形的阻隔再也不可能匹配了（\(a<c\)）。

既然如此，只需判断这个方案是否合法即可。

检验合法

先考虑按照横坐标顺序枚举，判断纵方向上是否存在相交区间。（之后还要把横纵坐标交换再检验一遍）

这里要先提一个细节，就是横坐标相同时同类型区间（类型指加入/删除）不能存在包含关系，要特殊判断。（当然更不能相交，但相交在之后会一起判掉）

而要判是否存在区间相交，考虑我们把记下所有端点，则当前区间\([l,r]\)中不能包含任何一个已有的端点。

只需找到大于等于\(l\)的第一个点判断是否在\([l,r]\)中即可，可以直接用一个\(set\)维护下所有端点。

代码：\(O(nlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define NA() (puts("syntax error"),exit(0))//无解
using namespace std;
int n,ans[N+5];
struct P {int p,x,y;I bool operator < (Con P& o) Con {return x^o.x?x<o.x:y<o.y;}}p[2*N+5];
struct OP {int x,l,r,op;I bool operator < (Con OP& o) Con {return x^o.x?x<o.x:(op^o.op?op<o.op:l<o.l);}}w[2*N+5];
set<pair<int,int> > S;I void Get()//构造方案
{
	set<pair<int,int> >::iterator it;sort(p+1,p+2*n+1);for(RI i=1;i<=2*n;++i)
	{
		if(p[i].p<=n) {S.insert(make_pair(p[i].y,p[i].p));continue;}//左上角
		((it=S.lower_bound(make_pair(p[i].y+1,0)))==S.begin())&&(NA(),0),ans[(--it)->second]=p[i].p,S.erase(it);//右下角，找到纵坐标尽可能大的，找不到就无解
	}
}
set<int> V;I void Check()//检验合法
{
	RI i;for(i=1;i<=n;++i) w[i]=(OP){p[i].x,p[i].y,p[ans[i]].y,1},w[i+n]=(OP){p[ans[i]].x+1,p[i].y,p[ans[i]].y,0};
	RI o,lst[2]={0,0};for(sort(w+1,w+2*n+1),i=1;i<=2*n;++i)//特殊处理横坐标相同的区间
		o=lst[w[i].op],lst[w[i].op]=i,w[o].x==w[i].x&&(w[o].l==w[i].l||w[o].r>=w[i].r)&&(NA(),0);//不能存在包含关系
	set<int>::iterator it,jt;for(V.insert(0),V.insert(2e9),i=1;i<=2*n;++i)//扫描线
	{
		if(!w[i].op) {it=V.find(w[i].l),w[i].l^w[i].r&&(V.erase(++(jt=it)),0),V.erase(it);continue;}//删除
		*V.lower_bound(w[i].l)<=w[i].r&&(NA(),0),V.insert(w[i].l),V.insert(w[i].r);//加入，不能包含任何端点
	}
}
I bool cmp(Con P& x,Con P& y) {return x.p<y.p;}
int main()
{
	RI i;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=2*n;++i) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y),p[i].p=i;
	for(Get(),sort(p+1,p+2*n+1,cmp),Check(),i=1;i<=2*n;++i) swap(p[i].x,p[i].y);Check();//先构造方案，然后交换横纵坐标检验两次
	for(i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]-n);return 0;
}