【洛谷6915】[ICPC2015 WF] Weather Report（哈夫曼树）

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• 给出四种天气出现的概率（每天都一样），要求把\(n\)天中\(4^n\)种可能的天气序列映射成\(01\)串，满足任何一个\(01\)串不是另一个\(01\)串的前缀，且期望串长最短。
• \(n\le20\)

哈夫曼树：堆+贪心

哈夫曼树是满足\(\sum_{x\in leaf}dep_x\times val_x\)最小的二叉树。

把\(4^n\)种可能的天气序列看作叶节点，\(val_x\)取每种天气数列出现的概率，发现上面的式子恰好就是期望的计算式。因此，只要建出哈夫曼树就解决了这道题目。

\(4^n\)太大不可能直接单独考虑每种天气序列。发现一种天气序列的概率只取决于其中每种天气各自的个数而与顺序无关，因此不同的概率只有\(C_{n+3}^3\)种，我们可以把相同的概率绑成一个\(pair\)一起求解。

求解的过程就是经典的堆+贪心，每次取出最小元素，先让它自己尽可能两两配对，如果有一个多余的就再和新的堆顶配对。

代码：\(O(n^4logn^4)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Rg register
#define RI Rg int
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define I inline
#define W while
#define N 20
#define fi first
#define se second
#define LL long long
#define DB long double
using namespace std;
int n,C[N+5][N+5];DB p[4];typedef pair<DB,LL> Pr;priority_queue<Pr,vector<Pr>,greater<Pr> > q;
I void dfs(CI x,CI t,DB w,Cn LL& s)//暴搜可能状态
{
	if(x==3) {for(RI i=1;i<=t;++i) w*=p[x];q.push(make_pair(w,s));return;}//概率和个数绑成pair扔入堆
	for(RI i=0;i<=t;++i) dfs(x+1,t-i,w,s*C[t][i]),w*=p[x];
}
int main()
{
	RI i,j;for(scanf("%d",&n),i=0;i^4;++i) scanf("%Lf",p+i);
	for(C[0][0]=i=1;i<=n;++i) for(C[i][0]=j=1;j<=i;++j) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
	#define Push(x,y) (q.push(make_pair(x,y)),ans+=(x)*(y))//合并得到y个x，扔入堆，同时统计答案
	dfs(0,n,1,1);Pr k,o;DB ans=0;W(!q.empty()) k=q.top(),q.pop(),
		k.se>1&&Push(2*k.fi,k.se>>1),k.se&1&&!q.empty()&&(o=q.top(),q.pop(),--o.se&&(q.push(o),0),Push(k.fi+o.fi,1));//尽可能自己两两配对，若有剩余和新的堆顶配对
	return printf("%.4Lf\n",ans),0;
}