【洛谷6672】[清华集训2016] 你的生命已如风中残烛（Raney引理）

点此看题面

• 共有\(m\)张牌，其中\(n\)张牌上写有数字\(w_i\)，满足\(\sum w_i=m\)。
• 一开始你先摸走牌库最顶上的一张牌，每当你摸到一张写着数字\(x\)的牌，你就再摸\(x\)张牌。
• 问有多少种牌库，你能把所有牌摸完。
• \(n\le40,w_i\le10^5\)

\(Raney\)引理

做这道题必需的一个引理：

一个环\(x_1,x_2,...,x_n\)满足\(\sum x_i=1\)，在将它裂开形成的\(n\)条可能的链中，恰有一条满足所有前缀和都是正数。

懒得另开一篇博客，就在这里顺便讲一下用\(Raney\)引理证明卡特兰数\(C_n=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\)。

因为共有\(n\)个\(1\)和\(n\)个\(-1\)，它们的和不为\(1\)，因此我们强行在序列开头加上一个\(1\)，这样就满足所有数和为\(1\)。

由于所有前缀和为正数，因此第一个数肯定是\(1\)而不是\(-1\)，那么去掉开头就变成了剩余所有前缀和非负，恰好满足卡特兰数的限制条件。

这样就能推导出卡特兰数的通项公式\(C_n=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\)。

关于此题的解法

首先我们把所有数都减去\(1\)，此时所有数和为\(0\)，且需要满足所有前缀都是非负数。

一个\(naive\)的想法是和前面卡特兰数的推导一样，强行在序列开头加上一个\(1\)，满足所有数和为\(1\)，且变成所有前缀都是正数。

但是，毕竟还是不一样，因为卡特兰数中正数只有\(1\)，开头必须是\(1\)，而这道题则不一定，所以会计算出错。

于是我们必须换个思路，发现有一个东西是唯一的，就是负数只有\(-1\)！

所以我们改成在序列末尾加上一个\(-1\)，那么序列总和是\(-1\)，这样一来只要将所有数都取反并逆序，就转化成了\(Raney\)引理的标准模型，且可以保证计算不重复（因为取反后的正数就只有\(1\)了）。

此时共有\(m+1\)个数，因此圆排列数量应该是\((m+1-1)!=m!\)。

然后为了除掉这个\(-1\)的影响，考虑原本有\(m-n\)个\(-1\)，现在添上一个\(-1\)就有\(m-n+1\)个\(-1\)，为了消除贡献还需要将\(m!\)除去\(m-n+1\)。

因此答案就是：

\[\frac{m!}{m-n+1} \]

因为\(m-n+1\le m\)，所以只要在求阶乘的时候忽略其影响即可。

代码：\(O(\sum w_i)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 40
#define X 998244353
using namespace std;
int n,m;
int main()
{
	RI i,t;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&t),m+=t;//m为所有数的总和
	for(t=i=1;i<=m;++i) i^(m-n+1)&&(t=1LL*t*i%X);return printf("%d\n",t),0;//计算答案，忽略m-n+1
}