【洛谷6564】[POI2007] 堆积木KLO（树状数组优化DP）

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• 给定一个长度为\(n\)的序列，你可以删去其中若干元素，要求最大化\(\sum_{i=1}^{n'}[a_i=i]\)。
• \(n\le10^5,a_i\le10^6\)

树状数组优化\(DP\)

发现每个位置\(i\)只有被弄到第\(a_i\)个位置才能产生贡献，也就是说需要满足在前\(i-1\)个元素中删去了恰好\(i-a_i\)个。

设\(f_j\)表示把原序列中的位置\(j\)弄到了第\(a_j\)个位置上能满足条件的最大个数，考虑\(j\)能转移到\(i\)的条件：

\[\begin{cases} j<i,\\ a_j<a_i,\\ j-a_j\le i-a_i \end{cases} \]

发现满足了后两个条件一定能满足第一个，因此这其实是个二维偏序。

以\(a_i\)为下标开一个树状数组，然后按照\(i-a_i\)从小到大枚举转移即可。

代码：\(O(nlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define V 1000000
using namespace std;
int n;vector<int> p[N+5];struct TreeArray
{
	int a[V+5];I void U(RI x,CI v) {W(x<=V&&a[x]<v) a[x]=v,x+=x&-x;}//单点取max
	I int Q(RI x,RI t=0) {W(x) t=max(t,a[x]),x-=x&-x;return t;}//前缀求最大值
}T;
int main()
{
	RI i,x;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&x),x<=i&&(p[i-x].push_back(x),0);//对于i-a[i]开桶
	vector<int>::iterator it;for(i=0;i<=V;++i) for(it=p[i].begin();it!=p[i].end();++it) T.U(*it,T.Q(*it-1)+1);//树状数组优化DP
	return printf("%d\n",T.Q(V)),0;
}