【洛谷5517】[MtOI2019] 幻想乡数学竞赛（数学）

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• 已知\(a_0=-3,a_1=-6,a_2=-12\)，且\(a_n=3a_{n-1}+a_{n-2}-3a_{n-3}+3^n(n\ge 2)\)，求\(a_n\)的值。
• 数据组数\(\le5\times10^7\)，\(n\le2^{64}-1\)

递推式变形

观察系数，发现刚好\(a_n\)与\(a_{n-2}\)系数相反，\(a_{n-1}\)与\(a_{n-3}\)系数相反，因此容易想到移项得到：

\[a_n-a_{n-2}=3(a_{n-1}-a_{n-3})+3^n \]

记\(b_n=a_n-a_{n-2}\)，也就是说：

\[b_n=3b_{n-1}+3^n \]

然后发现这个\(3\)也大有玄机，我们给式子两侧同除以\(3^n\)得到：

\[\frac{b_n}{3^n}=\frac{b_{n-1}}{3^{n-1}}+1 \]

记\(c_n=\frac{b_n}{3^n}\)，也就是说：

\[c_n=c_{n-1}+1 \]

代入几个初值，有\(c_0=-3,c_1=-2,c_2=-1\)，由此可以直接得出：

\[c_n=n-3 \]

则\(b_n=(n-3)\times 3^n\)，现在的问题就是通过\(b\)来还原\(a\)了。

通项公式的推导

首先列出式子：

\[a_n=\sum_{0\le i\le n,i\equiv n(mod\ 2)}(i-3)\times3^i \]

先考虑\(n\)为偶数的情况，直接枚举新的\(\frac{i'}2\)：

\[a_n=\sum_{i=0}^{\frac n2}(2i-3)\times9^{i}=2\sum_{i=0}^{\frac n2}i\times 9^i-3\sum_{i=0}^{\frac n2}9^i \]

后面的\(\sum_{i=0}^{\frac n2}9^i\)可以直接利用等比数列求和公式计算，等于\(\frac{9^{\frac n2+1}-1}8\)。

至于前面那项，设\(f(m)=\sum_{i=0}^mi\times 9^i\)，有一个经典的转化套路：

\[\begin{aligned} f(m)&=\sum_{i=1}^m\sum_{j=i}^m9^i\\ &=\sum_{i=1}^m\frac{9^{m+1}-9^i}{8}\\ &=\frac{m\times9^{m+1}}8-\frac{9^{m+1}-9}{64}\\ &=\frac{(8m-1)9^{m+1}+9}{64} \end{aligned} \]

最后总结一下，根据奇偶性列出\(a_n\)的两种通项公式：

\[a_n= \begin{cases} 2f(\frac n2)-\frac38\times(9^{\frac n2+1}-1)&(n\ is\ \texttt{even})\\ 6f(\frac {n-1}2)-\frac34\times(9^{\frac {n-1}2+1}-1)&(n\ is\ \texttt{odd}) \end{cases} \]

虽然式子中有很多幂，但它们都是以\(9\)为底的，可以预处理一下实现光速幂。

代码：\(O(T)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Rg register
#define RI Rg int
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define I inline
#define W while
#define S 32768
#define X 1000000007
#define ull unsigned long long
using namespace std;
Cn int I2=500000004,I4=1LL*I2*I2%X,I8=1LL*I2*I4%X,I64=1LL*I8*I8%X;
ull n;int p[S+5],pp[S+5];I int P9(ull y) {return y%=X-1,1LL*pp[y/S]*p[y%S]%X;}//求9^y
namespace Generator
{
	ull sd;int op;I void GetSeed() {scanf("%llu%d",&sd,&op);}
	I ull Rand() {return sd^=sd<<43,sd^=sd>>29,sd^=sd<<34,sd;}
	I ull R() {return op?(op==1?Rand()%UINT_MAX+1:Rand()):Rand()%USHRT_MAX+1;}
}using namespace Generator;
I int F(Cn ull& m) {return ((8LL*(m%X)-1+X)*P9(m+1)+9)%X*I64%X;}//计算∑i*(9^i)
int main()
{
	RI i;for(p[0]=i=1;i<=S;++i) p[i]=9LL*p[i-1]%X;for(pp[0]=i=1;i<=S;++i) pp[i]=1LL*pp[i-1]*p[S]%X;//预处理实现光速幂
	RI Tt,t=0;scanf("%d",&Tt),GetSeed();W(Tt--) n=R(),
		t^=n&1?(6LL*F(n-1>>1)-3LL*I4*(P9((n-1>>1)+1)-1)%X+X)%X:(2LL*F(n>>1)-3LL*I8*(P9((n>>1)+1)-1)%X+X)%X;//分奇偶性计算
	return printf("%d\n",t),0;
}