【洛谷5307】[COCI2019] Mobitel（动态规划）

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• 给定一个\(n\times m\)的矩阵，从\((1,1)\)走到\((n,m)\)，每次只能向右或向下。
• 每个格子中有一个正整数，求有多少条路径满足其上所有数乘积大于等于\(v\)。
• \(n,m\le300,v\le10^6\)

暴力动态规划

非常显然的暴力\(DP\)，设\(f_{i,j,k}\)表示走到\((i,j)\)，其中所有数乘积为\(k\)的方案数（特殊地，若\(k\ge v\)统一记作\(v\)）。

转移就只需考虑向下走和向右走两种。

第三维状态的优化

前两维表示当前位置显然不太好优化。

我们考虑第三维，\(k\ge v\Leftrightarrow k>v-1\Leftrightarrow\lfloor\frac{v-1}k\rfloor=0\)。

而我们又知道整除的运算满足\(\lfloor\frac{\lfloor\frac xy\rfloor}z\rfloor=\lfloor\frac x{yz}\rfloor\)，所以可以直接把\(\lfloor\frac{v-1}k\rfloor\)记作状态，每想给\(k\)乘上一个数，只要给\(\lfloor\frac{v-1}k\rfloor\)整除以这个数即可。

根据除法分块那套理论，\(\lfloor\frac{v-1}k\rfloor\)的种数只有\(2\sqrt v\)个，足以通过此题。

代码：\(O(n^2\sqrt v)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 300
#define V 1000000
#define S 2000
#define X 1000000007
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
using namespace std;
int n,m,v,a[N+5][N+5],f[2][N+5][S+5],p[V+5],w[S+5];
int main()
{
	RI i,j,k;for(scanf("%d%d%d",&n,&m,&v),i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j) scanf("%d",&a[i][j]);
	RI t=0;for(i=1;i^v;++i) !p[(v-1)/i]&&(w[p[(v-1)/i]=++t]=(v-1)/i);//记录下所有可能的(v-1) div k
	for(f[1][1][p[(v-1)/a[1][1]]]=i=1;i<=n;++i)
	{
		for(j=1;j<=m;++j) for(k=0;k<=t;++k) f[i&1^1][j][k]=0;//滚存，需事先清空下一行
		for(j=1;j<=m;++j) for(k=0;k<=t;++k)
			i^n&&Inc(f[i&1^1][j][p[w[k]/a[i+1][j]]],f[i&1][j][k]),//向下走
			j^m&&Inc(f[i&1][j+1][p[w[k]/a[i][j+1]]],f[i&1][j][k]);//向右走
	}
	return printf("%d\n",f[n&1][m][0]),0;//k≥n等价于(v-1) div k=0
}