【洛谷5300】[GXOI/GZOI2019] 与或和（单调栈水题）

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• 给定一个\(n\times n\)的矩阵，分别求出所有子矩阵\(AND\)值之和及所有子矩阵\(OR\)值之和。
• \(n\le1000\)

按位讨论+单调栈

由于按位与和按位或二进制下每位是独立的，完全可以按位讨论。

那么就变成一个\(01\)矩阵，利用总数-全\(0\)矩阵数=含\(1\)矩阵数的简单容斥转化掉按位或之后，问题就在于如何求出全\(1\)矩阵和全\(0\)矩阵的数目。

以全\(1\)矩阵为例，设\(f_{i,j}\)为\((i,j)\)向上连续\(1\)的数目，则\((i,j)\)为\(0\)时\(f_{i,j}=0\)，否则\(f_{i,j}=f_{i-1,j}+1\)。

那么右下角为\((i,j)\)，左下角为\((i,k)\)的矩形数目就是\(\min_{p=k}^jf_{i,p}\)。更新时加入一个\(f_{i,j}\)相当于全局向它取\(\min\)，用单调栈维护即可。

代码：\(O(n^2logV)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 1000
#define X 1000000007
using namespace std;
int n,a[N+5][N+5],s[N+5][N+5];
namespace FastIO
{
	#define FS 100000
	#define tc() (FA==FB&&(FB=(FA=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),FA==FB)?EOF:*FA++)
	char oc,FI[FS],*FA=FI,*FB=FI;
	Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!isdigit(oc=tc()));W(x=(x<<3)+(x<<1)+(oc&15),isdigit(oc=tc()));}
	Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
}using namespace FastIO;
int S[N+5],P[N+5],f[N+5][N+5];I int Calc()//求全1矩阵数目
{
	RI i,j,t=0,g,T;for(i=1;i<=n;++i) for(g=T=0,j=1;j<=n;++j)
	{
		f[i][j]=s[i][j]?f[i-1][j]+1:0;W(T&&S[T]>=f[i][j]) g=(g-S[T]*(P[T]-P[T-1])+X)%X,--T;//维护单调性，g维护总和
		S[++T]=f[i][j],P[T]=j,g=(g+S[T]*(P[T]-P[T-1]))%X,t=(t+g)%X;//加入当前段，然后更新答案
	}
	return t;
}
int main()
{
	RI i,j,tot=0;for(read(n),i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) read(a[i][j]),tot=(tot+i*j)%X;//tot统计矩阵总数
	RI t1=0,t2=0;for(RI k=0;k<=30;++k)//按位讨论
	{
		for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) s[i][j]=a[i][j]>>k&1;t1=(t1+(1LL*Calc()<<k))%X;//全1矩阵数
		for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) s[i][j]^=1;t2=(t2+((1LL*tot-Calc()+X)<<k))%X;//总数-全0矩阵数
	}
	return printf("%d %d\n",t1,t2),0;
}