【洛谷4738】[CERC2017] Cumulative Code（Meet in Middle）

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• 一棵\(n\)层的满二叉树，从上往下、从左往右编号，设\(p\)为它的\(prufer\)序列。
• \(q\)次询问，每次给出\(a,d,m\)，求\(\sum_{i=1}^mp_{a+(i-1)\times d}\)。
• \(n\le30,q\le300\)

暴力搜索

如果当前点有父节点，那么我们会先把左子树删完，再把右子树删完，最后删去当前点。

如果当前点没有父节点，那么我们会先把左子树删完，然后就删去当前点，最后把右子树删完。

因此可以写一个暴搜，记录当前点编号以及是否有父节点即可。

折半思想

由于这是一棵满二叉树，子树的形态只和深度有关，容易发现\(prufer\)序列的每一项都可以写成一个关于子树根节点编号的一次函数\(k_ix+b_i\)。

我们预处理出第\(\lfloor\frac n2\rfloor+1\)层节点子树内的\(prufer\)序列（注意，根据是否有父节点，会分为两种）。

每次询问时事先预处理出\(k_i,b_i\)隔\(d\)项的前缀和，然后在前\(\lfloor\frac n2\rfloor\)层中暴搜，一旦进入第\(\lfloor\frac n2\rfloor+1\)层就利用预处理出的前缀和以及当前点编号求出答案。

代码：\(O(q2^{\frac n2})\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 30
#define S 65536
#define LL long long
using namespace std;
int n,a,d,m,ct,k[2][S+5],b[2][S+5];LL K[2][S+5],B[2][S+5];
I void Init(CI ty,CI x,CI y,CI p,CI fg)//预处理
{
	if(p>n) return;//超出深度
	if(fg) Init(ty,x<<1,y<<1,p+1,0),k[ty][++ct]=x<<1,b[ty][ct]=y<<1|1,Init(ty,x<<1,y<<1|1,p+1,1);//左中右
	else Init(ty,x<<1,y<<1,p+1,0),Init(ty,x<<1,y<<1|1,p+1,0),k[ty][++ct]=x>>1,b[ty][ct]=y>>1;//左右中
}
I LL Calc(CI x,CI nw,CI fg)//计算子树根节点编号为x，之前访问过总点数为nw时的答案
{
	RI l=max(nw+1,a),r=min(nw+ct,a+(m-1)*d);l+=(a%d-l%d+d)%d,r-=(r%d-a%d+d)%d;if(l>r) return 0;//把l,r调成与a同余
	return l-=nw,r-=nw,K[fg][r]*x+B[fg][r]-(l>d?K[fg][l-d]*x+B[fg][l-d]:0)+(!fg&&r==ct?x>>1:0);//利用隔d前缀和计算答案，特判根节点父节点的贡献
}
int nw;LL ans;I void dfs(CI x,CI p,CI fg)//在前n/2层暴搜
{
	if(p>n/2) return (void)(ans+=Calc(x,nw,fg),nw+=ct);//达到第n/2+1层，利用预处理结果计算答案
	if(fg) dfs(x<<1,p+1,0),++nw>=a&&!((nw-a)%d)&&(nw-a)/d<m&&(ans+=x<<1|1),dfs(x<<1|1,p+1,1);//左中右
	else dfs(x<<1,p+1,0),dfs(x<<1|1,p+1,0),++nw>=a&&!((nw-a)%d)&&(nw-a)/d<m&&(ans+=x>>1);//左右中
}
int main()
{
	RI Qt,i,j,x,y,z;scanf("%d%d",&n,&Qt),Init(0,1,0,n/2+1,0),ct=0,Init(1,1,0,n/2+1,1);W(Qt--)
	{
		for(scanf("%d%d%d",&a,&d,&m),i=1;i<=ct;++i)
			for(j=0;j<=1;++j) K[j][i]=(i>d?K[j][i-d]:0)+k[j][i],B[j][i]=(i>d?B[j][i-d]:0)+b[j][i];//隔d前缀和
		nw=ans=0,dfs(1,1,1),printf("%lld\n",ans);
	}return 0;
}