【洛谷3774】[CTSC2017] 最长上升子序列（杨表）

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• 给定一个长度为\(n\)的序列。
• \(q\)次询问，每次求长为\(m\)的前缀中，最长的满足\(LIS\)长度不超过\(k\)的子序列长度。
• \(n\le5\times10^4,q\le2\times10^5\)

\(k-LIS\)问题——杨表的典型应用

关于杨表可见：杨表的构造与基本性质。

首先离线，就只要考虑一个一个把排列中的元素插入杨表。显然题目询问的就是\(k-LIS\)长度，这玩意儿就是杨表的前\(k\)列长度之和。

然而，若要直接维护整张杨表，单次插入的最劣复杂度是\(O(nlogn)\)的。

考虑杨表逐行列数不增的性质，则显然也有逐列行数不增。

因此，假设一个数执行插入操作后最终插入到\((x,y)\)的位置，则\(x,y\)中至少有一个小于等于\(\sqrt n\)。

所以我们维护好运算符取反后杨表的前\(\sqrt n\)行（与原杨表形状上行列交换，因此对应长度就是原杨表前\(\sqrt n\)列的长度），以及原杨表的前\(\sqrt n\)行（求大于\(\sqrt n\)的列长度，必然是完整的）。

一次插入算法只会影响一列的长度，视作单点修改，可以直接用树状数组维护。

代码：\(O(n\sqrt nlogn+qlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 50000
#define M 200000
#define S 250
using namespace std;
int n,Qt,a[N+5],ans[M+5];struct node {int p,k;};vector<node> s[N+5];
namespace FastIO
{
	#define FS 100000
	#define tc() (FA==FB&&(FB=(FA=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),FA==FB)?EOF:*FA++)
	#define pc(c) (FC==FE&&(clear(),0),*FC++=c)
	int OT;char oc,FI[FS],FO[FS],OS[FS],*FA=FI,*FB=FI,*FC=FO,*FE=FO+FS;
	I void clear() {fwrite(FO,1,FC-FO,stdout),FC=FO;}
	Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!isdigit(oc=tc()));W(x=(x<<3)+(x<<1)+(oc&15),isdigit(oc=tc()));}
	Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
	Tp I void writeln(Ty x) {W(OS[++OT]=x%10+48,x/=10);W(OT) pc(OS[OT--]);pc('\n');}
}using namespace FastIO;
struct TreeArray
{
	int a[N+5];I void U(RI x) {W(x<=n) ++a[x],x+=x&-x;}//单点修改
	I int Q(RI x,RI t=0) {W(x) t+=a[x],x-=x&-x;return t;}//前缀询问
}T;
namespace Y1//原杨表（每行严格递增）
{
	int c[S+5],a[S+5][N+5];I void A(RI v)
	{
		for(RI i=1,p;i<=S;++i)//只维护前S行
		{
			if(!c[i]||a[i][c[i]]<v) return (void)(a[i][++c[i]]=v,c[i]>S&&(T.U(c[i]),0));//若列数大于S则计算贡献
			p=lower_bound(a[i]+1,a[i]+c[i]+1,v)-a[i],swap(v,a[i][p]);//找到最小的大于等于它的数交换
		}
	}
}
namespace Y2//运算符取反后杨表（为了使用lower_bound，事先将插入值取负，因此每行非严格递增）
{
	int c[S+5],a[S+5][N+5];I void A(RI v)
	{
		for(RI i=1,p;i<=S;++i)//只维护前S行
		{
			if(!c[i]||a[i][c[i]]<=v) return (void)(a[i][++c[i]]=v,T.U(i),0);//行长度对应原杨表列长度
			p=upper_bound(a[i]+1,a[i]+c[i]+1,v)-a[i],swap(v,a[i][p]);//找到最小的大于它的数交换
		}
	}
}
int main()
{
	RI i;for(read(n,Qt),i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
	RI x,y;for(i=1;i<=Qt;++i) read(x,y),s[x].push_back((node){i,y});//离线
	vector<node>::iterator it;for(i=1;i<=n;++i)//把排列中的数一个一个插入杨表
		for(Y1::A(a[i]),Y2::A(-a[i]),it=s[i].begin();it!=s[i].end();++it) ans[it->p]=T.Q(it->k);//处理当前前缀上的询问
	for(i=1;i<=Qt;++i) writeln(ans[i]);return clear(),0;
}