【洛谷3643】[APIO2016] 划艇（DP）
- 有\(n\)个位置，第\(i\)个位置可以选择填入\([a_i,b_i]\)中的某个数或者填入\(-1\)，要求所有不是\(-1\)的数严格递增。
- 求有多少种可能的序列。
- \(n\le500\)
这道题本来想了挺久却一直想错了方向，后来得到一个需要离散化的提示就立刻秒掉了。。。
果然我现在做题最主要的问题是一开始就会把做题方向搞错，结果只会在错误道路上越走越远。
离散化+动态规划
方便起见先把所有\(b_i\)加\(1\)，让每个位置能填的数变成一个左闭右开区间，然后就能很开心地离散化了。
记排序去重后第\(j\)个数为\(dv_j\)。
设\(f_{i,j}\)表示第\(i\)个位置选择填入一个\([0,dv_{j+1})\)的数时前\(i\)个位置的方案数。
我们可以先求出第\(i\)个位置选择填入一个\([dv_j,dv_{j+1})\)中的数时的方案数\(f'_{i,j}\)，则只要最后做一遍前缀和就可以求出真正的\(f_{i,j}\)了。
考虑到离散化之后的一个核心烦点就是每个\(j\)对应着一段值域区间\([dv_j,dv_{j+1})\)，我们无法确定一个位置填入的究竟是其中的哪个数。
因此，我们需要对所有填入这段区间中的数的位置一起转移，即枚举一个\(k\)，表示\(k\)是最后一个填入了\([0,dv_j)\)中的数的位置，也就意味着有且仅有\([k+1,i]\)中所有选择填数的位置填入了\([dv_j,dv_{j+1})\)中的数字。
如果我们从\(i-1\)开始往前枚举\(k\)，可以方便地统计出一个\(t\)表示\([k+1,i]\)中离散化后\(j\in[a_x,b_x)\)位置个数。
由于这\(t\)个位置不一定全要填数，我们枚举选择了\(x\)个位置填数，那么填入的数就有\(C_{dv_{j+1}-dv_j}^x\)种选法，选择填数的位置就有\(C_{t-1}^{x-1}\)种选法（这里减\(1\)是因为\(i\)是必选位置）。
综上所述，我们的转移方程应该是：
这样子得到的是一个\(O(n^4)\)复杂度的解法，但发现后面\(\sum\)中的东西完全与\(i\)无关，因此我们可以先枚举\(j,t,x\)预处理出一个\(g_{j,t}\)表示这玩意儿，那么实际\(DP\)的时候就不用再枚举\(x\)了，复杂度正确。
代码：\(O(n^3)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 500
#define X 1000000007
using namespace std;
int n,a[N+5],b[N+5],dc,dv[2*N+5],f[N+5][2*N+5],g[2*N+5][N+5],C[N+5][N+5],C_[2*N+5],Inv[N+5];
int main()
{
RI i,j,k;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",a+i,b+i),dv[i]=a[i],dv[i+n]=++b[i];//右端点加1变左闭右开
#define GV(x) (lower_bound(dv+1,dv+dc+1,x)-dv)
for(sort(dv+1,dv+2*n+1),dc=unique(dv+1,dv+2*n+1)-dv-1,i=1;i<=n;++i) a[i]=GV(a[i]),b[i]=GV(b[i]);//离散化
for(Inv[1]=1,i=2;i<=n;++i) Inv[i]=1LL*(X-X/i)*Inv[X%i]%X;//预处理逆元
for(C[0][0]=i=1;i<=n;++i) for(C[i][0]=j=1;j<=i;++j) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%X;//预处理n以内的C[i][j]
RI d;for(i=1;i^dc;++i)
{
for(d=dv[i+1]-dv[i],C_[0]=j=1;j<=min(n,d);++j) C_[j]=1LL*C_[j-1]*Inv[j]%X*(d-j+1)%X;//预处理C[dv[i+1]-dv[i]][j]
for(j=1;j<=n;++j) for(k=1;k<=min(j,d);++k) g[i][j]=(g[i][j]+1LL*C_[k]*C[j-1][k-1])%X;//计算辅助数组g[i][j]
}
RI t;for(i=0;i<=dc;++i) f[0][i]=1;for(i=1;i<=n;++i)//枚举每个位置
{
for(j=a[i];j^b[i];++j) for(k=i-1,t=1;~k;--k) f[i][j]=(f[i][j]+1LL*f[k][j-1]*g[j][t])%X,a[k]<=j&&j<b[k]&&++t;
//枚举最后一个填入[0,dv[j])的位置k，记录t表示[k+1,i]中j∈[a[x],b[x])的位置数
for(j=1;j<=dc;++j) f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j-1])%X;//前缀和
}
for(t=0,i=1;i<=n;++i) t=(t+f[i][dc])%X;return printf("%d\n",t),0;
}
