【洛谷3266】[JLOI2015] 骗我呢（坐标系走路神仙题）

点此看题面

• 有一张\(n\times m\)的网格图，每个位置只能填入\([0,m]\)。
• 要求满足每个位置\((i,j)\)比\((i,j+1)\)和\((i-1,j+1)\)都小，求方案数。
• \(n,m\le10^6\)

动态规划

首先发现总共只有\(m+1\)种数，而每一行都要填\(m\)个递增的数，因此一行的状态实际上只需要考虑哪个数没有即可。

即，设\(f_{i,j}\)表示第\(i\)行没有的数是\(j\)的方案数。

考虑转移，画画图发现\(k\le j+1\)的\(f_{i-1,k}\)都是可以转移的，而更大的\(k\)就不满足条件了。

因此得出转移方程：

\[f_{i,j}=\sum_{k=0}^{j+1}f_{i-1,k}=f_{i,j-1}+f_{i-1,j+1} \]

坐标系走路的转化

把转移表示到图上去：（图画得很丑，但我尽力了。。。）

发现斜着的转移很难表示，所以我们先把它掰直，变成：

那么也就相当于我们不能触碰到下图中的两条蓝线\(A\)和\(B\)：

容斥

（画不动图了，而且估计我画得这么丑也没人看，因此就不放了）

经典容斥问题。

以第一条线\(A\)为例，我们找到终点关于它的对称点，那么抵达对称点的方案等同于以\(A\)结尾或以\(AB\)结尾的非法路径。同理以\(B\)为例，抵达关于它的对称点的方案等同于以\(B\)结尾或以\(BA\)结尾的非法路径。

但它们之间的非法路径肯定存在包含关系，因为以\(A\)结尾也就包含了以\(BA\)结尾，因此需要容斥。

具体地，依旧以第一条线\(A\)为例，我们找到终点关于它的对称点，用答案减去这一部分方案数，然后找到这个对称点关于第二条线\(B\)的对称点，给答案加上这一部分方案数，然后再回去给当前对称点找到第一条线的对称点减去方案数，以此类推，直至越界（某一维小于\(0\)）。第二条线则反之。

显然终点坐标为\((n+m+1,n)\)。而关于对称点，有解析式\(A:y=x+1,B:y=x-m-2\)，所以\((x,y)\)关于\(a,b\)的对称点分别为\((y-1,x+1),(y+m+2,x-m-2)\)。

代码实现很简单，但思维难度真的高。

代码：\(O(n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 1000000
#define X 1000000007
using namespace std;
int n,m;I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int Fac[3*N+5],IFac[3*N+5];I void InitFac(CI S)
{
	RI i;for(Fac[0]=i=1;i<=S;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;//预处理阶乘
	for(IFac[i=S]=QP(Fac[S],X-2);i;--i) IFac[i-1]=1LL*IFac[i]*i%X;//预处理阶乘逆元
}
I void A(int& x,int& y) {RI a=y-1,b=x+1;x=a,y=b;}//把点按A翻转
I void B(int& x,int& y) {RI a=y+m+2,b=x-m-2;x=a,y=b;}//把点按B翻转
int main()
{
	#define Calc(x,y) ((x)>=0&&(y)>=0?1LL*Fac[(x)+(y)]*IFac[x]%X*IFac[y]%X:0)//到达(x,y)的方案数，就是C(x+y,x)
	scanf("%d%d",&n,&m),InitFac(3*max(n,m)+1);RI x,y,t=Calc(n+m+1,n);
	x=n+m+1,y=n;W(x>=0&&y>=0) A(x,y),t=(t-Calc(x,y)+X)%X,x>=0&&y>=0&&(B(x,y),t=(t+Calc(x,y))%X);//对于A的容斥
	x=n+m+1,y=n;W(x>=0&&y>=0) B(x,y),t=(t-Calc(x,y)+X)%X,x>=0&&y>=0&&(A(x,y),t=(t+Calc(x,y))%X);//对于B的容斥
	return printf("%d\n",t),0;
}