【洛谷3207】[HNOI2010] 物品调度（置换问题）

点此看题面

• 有\(n\)个位置标号为\(0\sim n-1\)，初始位置\(0\)为空，位置\(i\)上放着编号为\(i\)的物品。
• 给出空位的最终位置\(pos_0\)，并给定一个序列\(c\)和一个常数\(d\)用于生成第\(i\)个物品的最终位置\(pos_i\)：要求\(pos_i=(c_i+d\times x_i+y_i)\%n\)，\(pos_i\)不与之前任意\(pos_j\)重复，且在此前提下首先\(y_i\)尽可能小，,其次\(x_i\)尽可能小。
• 每次你可以把一个物品移到空位上，求至少多少次操作能把所有物品移动到对应的最终位置。
• 数据组数\(\le20\)，\(n\le10^5\)

最终位置的求解

考虑我们首先要满足\(y_i\)尽可能小，那么就是要找到最小的\(y_i\)，使得存在一个\((d\times x_i+(c_i+y_i))\%n\)没有出现过。

令\(g=gcd(d,n)\)，则如果两数\(a,b\)满足\(a\equiv b(mod\ g)\)，它们\((d\times k+r)\%n\)的形式中的\(r\)就相等。

因此，我们考虑开一个\(set\)，存下还有哪些\(r\in[0,g)\)仍然存在\((d\times k+r)\%n\)，然后每次就是先尝试找到大于等于\(c_i\%g\)的最小的可行\(r\)，找不到就找最小的可行\(r\)。

现在确定了\(r\)（即确定了\(y_i\)），我们还要让\(x_i\)尽可能小。

我们事先预处理出每个数\((d\times k+r)\%n\)的形式中对应的\(k\)，对于每一个\(r\)开一个\(set\)存下还有哪些\(k\)，接下来的查询过程和上面就非常类似了，先尝试找到大于等于当前\(k\)的最小的可行\(k\)，找不到就找最小的可行\(k\)。

最少步数

把\(pos_i\)看作一个置换，把原问题分解为若干个置换环。

如果某个置换环大小为\(1\)，显然无需操作，代价为\(0\)。

否则，如果只是简单给环转一遍代价为环上元素个数减\(1\)。但由于我们只能与空位交换，所以对于不包含空位的环，我们需要花费两次代价在最开始把一个元素换出去、在最后把一个元素换回来。

简单讨论一下即可。

代码：\(O(Tnlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
using namespace std;
int n,m,d,pos[N+5],r[N+5],k[N+5],vis[N+5];set<int> S,P[N+5];set<int>::iterator it,jt;
I int gcd(CI x,CI y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
namespace FastIO
{
	#define FS 100000
	#define tc() (FA==FB&&(FB=(FA=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),FA==FB)?EOF:*FA++)
	char oc,FI[FS],*FA=FI,*FB=FI;
	Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!isdigit(oc=tc()));W(x=(x<<3)+(x<<1)+(oc&15),isdigit(oc=tc()));}
	Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
}using namespace FastIO;
int main()
{
	RI Tt,i,j,x,c,p,q,g,t;read(Tt);W(Tt--)
	{
		for(read(n,pos[0],q,p,m,d),g=gcd(n,d),i=0;i^n;++i) vis[i]=0;
		for(i=0;i^g;++i) for(S.insert(x=i),j=0;j^(n/g);x=(x+d)%n,++j) P[r[x]=i].insert(k[x]=j);//预处理，把每个数表示成dk+r
		P[r[pos[0]]].erase(k[pos[0]]),P[r[pos[0]]].empty()&&(S.erase(r[pos[0]]),0);//删去pos[0]
		for(c=0,i=1;i^n;++i) c=(1LL*c*q+p)%m,x=c%n,
			(it=S.lower_bound(r[x%d]))==S.end()&&(it=S.begin(),0),//找到最优的r
			(jt=P[*it].lower_bound(k[(x+(*it>=x%g?*it-x%g:*it-x%g+g))%n]))==P[*it].end()&&(jt=P[*it].begin(),0),//找到最优的k，注意先把x修改为模n余r的数
			pos[i]=(1LL*d*(*jt)+*it)%n,P[*it].erase(jt),P[*it].empty()&&(S.erase(it),0);//记录最终位置，然后删除
		for(t=i=0;i^n;++i) if(!vis[x=i]&&pos[i]^i) {c=-1;W(!vis[x]) ++c,vis[x]=1,x=pos[x];t+=c,i&&(t+=2);}printf("%d\n",t);//枚举每个置换环简单讨论
	}return 0;
}