【洛谷3179】[HAOI2015] 数组游戏（SG函数+除法分块）

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大致题意： 一个\(1\sim n\)的棋盘，每组询问给出棋盘上白色格子的下标。对弈双方轮流操作，每次可以选择一个白色格子（设其下标为\(x\)），将下标为\(x,2x,...,kx\)的格子颜色翻转，其中\(1\le k\le\lfloor\frac nx\rfloor\)。问先手是否有必胜策略。

\(SG\)函数

考虑我们求出每个格子的\(SG\)函数，则一个棋盘的\(SG\)值就是所有白色格子\(SG\)函数的异或和。

众所周知一个状态的\(SG\)函数等于其后继状态\(SG\)值的\(mex\)。

考虑一个节点\(x\)的后继状态，就会发现：

\[SG(x)=mex\{0,SG(2x),SG(2x)\oplus SG(3x),SG(2x)\oplus SG(3x)\oplus SG(4x)...\} \]

由于\(n\le10^9\)，直接暴力求出所有\(SG(x)\)是不现实的，需要考虑优化。

除法分块

根据此题中\(SG\)函数的转移式，容易发现，若\(\lfloor\frac nx\rfloor=\lfloor\frac ny\rfloor\)，则\(SG(x)=SG(y)\)。

也就是说，可以通过除法分块，将\(SG\)函数分成\(O(\sqrt n)\)段。

而要求出某一段的\(SG\)函数，设这段开头为\(p_i\)，就需要在\(\lfloor\frac n{p_i}\rfloor\)范围内再次除法分块，利用每一段的\(SG\)值与前缀异或和更新答案。

注意除法分块过程中维护前缀异或和时，要根据这一段的奇偶性判断是否给前缀异或和异或上这一段的\(SG\)值。

具体实现详见代码，还是非常简单的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define SN 32000
#define SG(x) ((x)<=sn?S[0][x]:S[1][n/(x)])//把SG函数分两个数组存储
using namespace std;
int n,m,p[2*SN+5],S[2][SN+5],vis[2*SN+5];
int main()
{
	RI l,r;for(scanf("%d",&n),l=1;l<=n;l=r+1) p[++m]=l,r=n/(n/l);//除法分块，求出每一段
	RI i,t,s,sn=sqrt(n);for(i=m;i;--i)//倒枚每一段求出SG函数
	{
		for(t=n/p[i],s=0,l=2;l<=t;l=r+1) r=t/(t/l),//再次除法分块
			vis[s^SG(l*p[i])]=i,(r-l+1)&1&&(s^=SG(l*p[i]));//vis记录每种值否出现过，如果这段长度为奇数则更新前缀异或和
		SG(p[i])=1;W(vis[SG(p[i])]==i) ++SG(p[i]);//求mex，由于后继状态必然存在0，因此SG初始化为1
	}
	RI Qt,x;scanf("%d",&Qt);W(Qt--)//处理询问
		{scanf("%d",&t),s=0;W(t--) scanf("%d",&x),s^=SG(x);puts(s?"Yes":"No");}//把SG值异或起来判断是否为0
	return 0;
}