【洛谷3158】[CQOI2011] 放棋子（DP水题）

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• 给定一个\(n\times m\)的棋盘和\(c\)种颜色的棋子，第\(i\)种颜色有\(a_i\)个。
• 求有多少种放完所有棋子的方式，使得每行每列都不存在异色棋子。
• \(n,m\le30,c\le10,\sum a_i\le250\)

颜色占领行列

设\(g_{i,x,y}\)表示用第\(i\)种颜色的棋子占领\(x\)行\(y\)列的方案数，即要把这\(a_i\)个棋子摆在一个\(x\times y\)的棋盘上，使得每行每列都至少有一个棋子。

总方案数是\(C_{x\times y}^{a_i}\)，不合法方案数就是\(\sum C_x^pC_y^qg_{i,p,q}\)（即枚举实际上占领了多少行多少列），二者相减即可。

然后设\(f_{i,x,y}\)表示前\(i\)种颜色共占领\(x\)行\(y\)列的方案数。

枚举第\(i\)种颜色占领了\(p\)行\(q\)列转移，令\(f_{i,x+p,y+q}\texttt{+=}f_{i,x,y}\times C_{n-x}^p\times C_{n-y}^q\times g_{i,p,q}\)（原本的方案数×选择行列的方案数×第\(i\)种颜色的占领方案数）。

代码：\(O(n^4c)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 30
#define K 10
#define X 1000000009
using namespace std;
int n,m,k,a[K+5],C[N*N+5][N*N+5],f[K+5][N+5][N+5],g[K+5][N+5][N+5];
int main()
{
	RI i,j,x,y,p,q,F;for(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k),i=1;i<=k;++i) scanf("%d",a+i);
	for(C[0][0]=i=1;i<=n*m;++i) for(C[i][0]=j=1;j<=i;++j) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%X;//预处理组合数
	for(i=1;i<=k;++i) for(x=1;x<=n;++x) for(y=1;y<=m;++y) if(a[i]<=x*y) for(g[i][x][y]=C[x*y][a[i]],//总方案数
		p=1;p<=x;++p) for(q=1;q<=y;++q) (p^x||q^y)&&(g[i][x][y]=(g[i][x][y]-1LL*C[x][p]*C[y][q]%X*g[i][p][q]+X)%X);//减去非法方案数
	for(f[0][0][0]=i=1;i<=k;++i) for(x=0;x<=n;++x) for(y=0;y<=m;++y) if(F=f[i-1][x][y])//DP转移
		for(p=1;p<=n-x;++p) for(q=1;q<=m-y;++q) f[i][x+p][y+q]=(f[i][x+p][y+q]+1LL*F*C[n-x][p]%X*C[m-y][q]%X*g[i][p][q])%X;//枚举当前颜色占领行列数
	RI s=0;for(i=k;i<=n;++i) for(j=k;j<=m;++j) s=(s+f[k][i][j])%X;return printf("%d\n",s),0;//统计答案
}