【洛谷2561】[AHOI2002] 黑白瓷砖（Polya定理）

点此看题面

• 把\(\frac{n(n+1)}2\)个正六边形摆成一个“三角形”，然后给每个六边形染上颜色。
• 有顺时针/逆时针旋转\(120^\circ\)和左右翻转两种操作，问有多少种本质不同的染色方案。
• \(n\le20\)

\(Polya\)定理

考虑\(Polya\)定理的公式：

\[L=\frac1{|G|}\sum_{i=1}^sm^{c(g_i)} \]

方便起见令\(m=\frac {n(n+1)}2\)，然后就是对几种置换方式分类讨论。

原排列： 显然\(c(g)=m\)。

一次翻转： 对称轴上的点就是单独一个置换环，两旁的点则都有对应点合成一个置换环，因此 \(c(g)=\sum_{i=1}^n\lceil\frac i2\rceil\)。

一次旋转： 当\(n\%3=1\)时有个中心点，\(c(g)=\frac{m-1}3+1\)；当\(n\%3\not=1\)的时候没有中心，\(c(g)=\frac m3\)。（显然，顺时针和逆时针旋转是一样的）

翻转+旋转： 稍微有点麻烦，最好还是自己画下图理解一下。当\(n\%3=1\)时，中心单独一个，一个端点单独一个，剩余的点与对面两两合成一个置换环，\(c(g)=\frac{m-2}2+2\)；当\(n\%3\not=1\)时，依然对称轴上的点单独一个，两旁的点都有对应点，\(c(g)=\sum_{i=1}^n\lceil\frac i2\rceil\)。

代码：\(O(n)\)

n=int(input())
m=n*(n+1)//2#总六边形个数
t=2**m#原排列
c=0
for i in range(1,n+1):
    c+=(i+1)//2#计算每行置换环数
t+=2**c#一次翻转
if n%3==1:#根据有无中心分类讨论
    t+=2*((2**((m-1)//3+1))+(2**((m-4)//2+3)))#一次旋转；翻转+旋转
else:#没有中心
    t+=2*((2**(m//3))+(2**c))#一次旋转；翻转+旋转
print(t//6)#除以群大小