【洛谷2522】[HAOI2011] Problem b（莫比乌斯反演）

点此看题面

大致题意： 求\(\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d[gcd(x,y)==k]\)。

关于另一道题目

在看这篇博客之前，如果你做过一道叫做【BZOJ1101】[POI2007] Zap的题目，那么此题就很简单了。

如果没做过，还是推荐你先去做一下吧。

解题思路

做完了上面提到的那题，或许对这题你就有一个很显然的想法了。

即差分。

其实，上面那题就是此题\(a=c=1\)的特殊版本。

因此，如果令\(ans_{i,j}=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j[gcd(x,y)==k]\)，则：

\[answer=ans_{b,d}-ans_{a-1,d}-ans_{b,c-1}+ans_{a-1,c-1} \]

于是就水过了（相当于双倍经验啊）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 50000
using namespace std;
int X1,Y1,X2,Y2,k;
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_Mobius//莫比乌斯反演
{
    private:
        int Prime_cnt,mu[N+5],Prime[N+5];bool IsNotPrime[N+5];
    public:
        LL sum[N+5];
        Class_Mobius()//预处理
        {
            register int i,j;
            for(mu[1]=1,i=2;i<=N;++i)//求出莫比乌斯函数
            {
                if(!IsNotPrime[i]) Prime[++Prime_cnt]=i,mu[i]=-1;
                for(j=1;j<=Prime_cnt&&i*Prime[j]<=N;++j) 
                    if(IsNotPrime[i*Prime[j]]=true,i%Prime[j]) mu[i*Prime[j]]=-mu[i];else break;
            }
            for(i=1;i<=N;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];//求前缀和
        }
}Mobius;
inline LL GetAns(int n,int m,int k)//用一个函数表示结果，这样只需调用4次函数即可
{
    register int l,r,lim;register LL ans=0;
   	for(ans=0,l=1,lim=min(n,m)/k;l<=lim;l=r+1) r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=1LL*(n/(l*k))*(m/(l*k))*(Mobius.sum[r]-Mobius.sum[l-1]);//除法分块
   	return ans;
}
int main()
{
    register int T;F.read(T);
    while(T--) F.read(X1),F.read(Y1),F.read(X2),F.read(Y2),F.read(k),F.write(GetAns(Y1,Y2,k)-GetAns(X1-1,Y2,k)-GetAns(Y1,X2-1,k)+GetAns(X1-1,X2-1,k)),F.write_char('\n');//利用差分的思想
    return F.end(),0;
}