【洛谷2257】YY的GCD（莫比乌斯反演）

点此看题面

大致题意： 求\(\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^MIsPrime(gcd(x,y))\)。

莫比乌斯反演

听说此题是莫比乌斯反演入门题？

一些定义

首先，我们可以定义\(f(d)\)和\(F(d)\)如下：

\[f(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[gcd(i,j)==d] \]

\[F(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[d|gcd(i,j)] \]

通过定义，不难发现：

\[F(n)=\sum_{n|d}f(d)=\lfloor\frac Nn\rfloor\lfloor\frac Mn\rfloor \]

由于莫比乌斯反演的某些性质，我们又可以得到：

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\lfloor\frac dn\rfloor)F(d) \]

公式化简

首先，我们应该不难想到：

\[answer=\sum_{IsPrime(p)}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[gcd(i,j)==p] \]

然后就是一波化简。

应该挺容易看出，由于\(f(p)\)的定义，上面的式子其实就相当于下面这个式子：

\[answer=\sum_{IsPrime(p)}f(p) \]

然后是莫比乌斯反演：

\[answer=\sum_{IsPrime(p)}\sum_{p|d}\mu(\lfloor\frac dp\rfloor)F(d) \]

但是，这样有点难以处理。

于是，我们改成枚举\(\lfloor\frac dp\rfloor\)，于是原式就变成了这样：

\[answer=\sum_{IsPrime(p)}\sum_{d=1}^{min(\lfloor\frac Np\rfloor,\lfloor\frac Mp\rfloor)}\mu(d)F(d·p) \]

将\(F(n)=\lfloor\frac Nn\rfloor\lfloor\frac Mn\rfloor\)代入进一步化简，可以得到：

\[answer=\sum_{IsPrime(p)}\sum_{d=1}^{min(\lfloor\frac Np\rfloor,\lfloor\frac Mp\rfloor)}\mu(d)\lfloor\frac N{d·p}\rfloor\lfloor\frac M{d·p}\rfloor \]

如果我们用\(G\)来表示\(d·p\)，则\(d=\frac Gp\)，原式就变成了这个样子：

\[answer=\sum_{G=1}^{min(N,M)}\sum_{IsPrime(p),p|G}\mu(\frac Gp)\lfloor\frac NG\rfloor\lfloor\frac MG\rfloor \]

通过乘法交换律和乘法结合律，我们可以再一步转化，得：

\[answer=\sum_{G=1}^{min(N,M)}\lfloor\frac NG\rfloor\lfloor\frac MG\rfloor(\sum_{IsPrime(p),p|G}\mu(\frac Gp)) \]

然后就可以\(O(n)\)求解了。

\(But\)，多组数据，\(T\le 10000\)... ...

求解答案

首先，我们用定义一个\(g(n)\)，它的定义如下：

\[g(n)=\sum_{IsPrime(p),p|n}\mu(\frac np) \]

于是，我们便能将上面的式子进一步转化：

\[answer=\sum_{G=1}^{min(N,M)}\lfloor\frac NG\rfloor\lfloor\frac MG\rfloor g(n) \]

然后，我们可以用除法分块。

不难发现，在一定范围内\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)的值是保持不变的（\(\lfloor\frac Mi\rfloor\)同理），则\(\lfloor\frac NG\rfloor\lfloor\frac MG\rfloor\)其实最多只有\(\sqrt N+\sqrt M\)，而对于\(\lfloor\frac NG\rfloor\lfloor\frac MG\rfloor\)相同的值，我们可以一起求解，于是就能想到用\(sum_i\)来表示\(\sum_{i=1}^i g(i)\)，这样就能快速求解了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 10000000
using namespace std;
int n,m;
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_Mobius//莫比乌斯反演
{
    private:
        int Prime_cnt,mu[N+5],Prime[N+5];bool IsNotPrime[N+5];
    public:
        LL sum[N+5];
        Class_Mobius()//预处理
        {
            register int i,j;
            for(mu[1]=1,i=2;i<=N;++i)//求出莫比乌斯函数
            {
                if(!IsNotPrime[i]) Prime[++Prime_cnt]=i,mu[i]=-1;
                for(j=1;j<=Prime_cnt&&i*Prime[j]<=N;++j) 
                    if(IsNotPrime[i*Prime[j]]=true,i%Prime[j]) mu[i*Prime[j]]=-mu[i];else break;
            }
            for(j=1;j<=Prime_cnt;++j) for(i=Prime[j];i<=N;i+=Prime[j]) sum[i]+=mu[i/Prime[j]];//计算g(i)
            for(i=1;i<=N;++i) sum[i]+=sum[i-1];//求前缀和
        }
}Mobius;
int main()
{
    register int i,nxt,T;register LL ans;F.read(T);
    while(T--)
    {
    	if(F.read(n),F.read(m),n>m) swap(n,m);
    	for(ans=0,i=1;i<=n;i=nxt+1) nxt=min(n/(n/i),m/(m/i)),ans+=1LL*(n/i)*(m/i)*(Mobius.sum[nxt]-Mobius.sum[i-1]);//除法分块
    	F.write(ans),F.write_char('\n');//输出答案
    }
    return F.end(),0;
}