【洛谷1654】OSU!（期望）

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• 有一个长度为\(n\)的序列，其中第\(i\)个位置有\(a_i\)的概率为\(1\)。
• 问所有极长的连续的\(1\)的长度立方和的期望。
• \(n\le10^5\)

期望

立方的期望显然不等于期望的立方，这种东西自己举几个例子就知道了。

考虑我们维护到第\(i\)个位置为止的答案为\(ans_i\)，连续长度期望为\(A_i\)，连续长度平方期望为\(B_i\)，连续长度立方期望为\(C_i\)。

一次期望的长度转移是显然的：

\[A_i=a_i(A_{i-1}+1) \]

对于二次期望，考虑\((x+1)^2=x^2+2x+1\)，可以借助一次期望一同计算：

\[B_i=a_i(B_{i-1}+2A_{i-1}+1) \]

知道二次期望，三次期望就同理了：

\[C_i=a_i(C_{i-1}+3B_{i-1}+3A_{i-1}+1) \]

至于答案，由于它求的是极长连续段，所以我们有：（只有不连续了才能算答案）

\[ans_i=ans_{i-1}+(1-a_i)C_{i-1} \]

但注意这样没有计算最后一个连续段，因此最终的答案为\(ans_n+C_n\)。

具体实现时没必要开数组。

代码：\(O(n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define DB double
using namespace std;
int n;
int main()
{
	RI i;DB x,A=0,B=0,C=0,S=0;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lf",&x),S+=(1-x)*C,C=x*(C+3*B+3*A+1),B=x*(B+2*A+1),A=x*(A+1);//注意转移的先后顺序
	return printf("%.1lf\n",S+C),0;//输出答案时要算上最后一个连续段
}