【洛谷1110】[ZJOI2007] 报表统计（两棵平衡树）

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大致题意： 有一个序列，三种操作。\(INSERT\)操作是在原数列第\(i+1\)个元素之前插入一个新元素\(k\)，\(MIN\)_\(GAP\)操作是查询相邻两个元素的之间差值的最小值，\(MIN\) _\(SORT\) _\(GAP\)操作是查询所有元素中最接近的两个元素的差值。

两棵平衡树

这道题我们可以用两棵\(Treap\)来分别维护序列中的所有元素（命名为\(DataTreap\)）以及序列中相邻两个元素的差值（命名为\(DeltaTreap\)）。

不知道为什么洛谷上过了BZOJ上超时了。

对于\(MIN\)_\(GAP\)操作

我们不是有一棵维护序列中相邻两个元素的差值的\(DeltaTreap\)吗？

输出这棵\(Treap\)中的最小值即可。

注意要在插入操作同时更新\(DeltaTreap\)中的元素（具体更新过程在后文有提及）。

对于\(MIN\) _\(SORT\) _\(GAP\)操作

考虑一个性质：这个操作的答案的值肯定是单调不下降的。

因此，我们可以用一个变量\(ans\)来记录答案。

每插入一个新元素，我们可以在\(DataTreap\)中找到它们的前驱和后继。

然后，我们可以将\(ans\)更新为它与当前插入元素与其前驱的差值以及当前插入元素与其后继的差值中的最小值。

对于每一次询问，输出\(ans\)即可。

对于\(Insert\)操作

我们需要进行如下操作：

• 将这个元素插入至\(DataTreap\)中。

• 更新\(ans\)。

• 将其左右两边元素的差值从\(DeltaTreap\)中删去，然后将这个元素与其左右两边元素的差值插入至\(DeltaTreap\)中。

至于如何求出当前插入元素左右两边的元素，我们可以记录每一段元素的第一个元素\(front_i\)和最后一个元素\(back_i\)，就可以很方便地求解了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 500000
#define F5(val) (pre=DataTreap.get_pre(val),nxt=DataTreap.get_nxt(val),ans=min(ans,min(val-pre,nxt-val)))//将ans更新为它与当前插入元素与其前驱的差值以及当前插入元素与其后继的差值中的最小值
using namespace std;
int n,ans=INF,front[N+5],back[N+5];
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_Treap//Treap模板
{
    private:
        #define Rand() ((r*=233333LL)%=2147483647)
        #define PushUp(x) (node[x].Size=node[node[x].Son[0]].Size+node[node[x].Son[1]].Size+node[x].Cnt)
        #define Rotate(x,d) (k=node[x].Son[d^1],node[x].Son[d^1]=node[k].Son[d],node[k].Son[d]=x,x=k,PushUp(node[x].Son[d]),PushUp(x))
        #define Build(val) ((void)(k=Void[tot--],node[k].Val=val,node[k].Cnt=node[k].Size=1,node[k].Son[0]=node[k].Son[1]=0,node[k].Data=Rand()),k)
        int rt,tot,k,Void[(N<<1)+5];ull r;
        struct Tree
        {
     	   int Val,Cnt,Size,Data,Son[2];
        }node[(N<<1)+5];
        inline void ins(int &x,int val)
        {
            if(!x) return (void)(x=Build(val));
      	  	++node[x].Size;
        	if(node[x].Val==val) ++node[x].Cnt;
        	else if(node[x].Val>val) {ins(node[x].Son[0],val);if(node[x].Data<node[node[x].Son[0]].Data) Rotate(x,1);}
           	else {ins(node[x].Son[1],val);if(node[x].Data<node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,0);}
            PushUp(x);
        }
        inline void del(int &x,int val)
        {	
     		if(!x) return;
            if(node[x].Val==val)
            {
                if(node[x].Cnt>1) return (void)(--node[x].Cnt,PushUp(x));
                if(node[x].Son[0]||node[x].Son[1])
                {
                    if(!node[x].Son[1]||node[node[x].Son[0]].Data>node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,1),del(node[x].Son[1],val);
                    else Rotate(x,0),del(node[x].Son[0],val);
                }
                else Void[++tot]=x,x=0;
            }
            else if(node[x].Val>val) del(node[x].Son[0],val);
            else del(node[x].Son[1],val);
            PushUp(x);
        }
    public:
        Class_Treap() {r=2333;for(register int i=N<<1;i;--i) Void[++tot]=i;}
        inline void Insert(int val) {ins(rt,val);}
        inline void Delete(int val) {del(rt,val);}
        inline int get_pre(int val)
        {
        	register int x=rt,pre=-INF;
        	while(x) node[x].Val<=val?(pre=node[x].Val,x=node[x].Son[1]):x=node[x].Son[0]; 
        	return pre;
        }
        inline int get_nxt(int val)
        {
        	register int x=rt,nxt=INF;
        	while(x) node[x].Val>=val?(nxt=node[x].Val,x=node[x].Son[0]):x=node[x].Son[1]; 
        	return nxt;
        }
        inline int get_min()
        {
            register int x=rt;
            while(node[x].Son[0]) x=node[x].Son[0];
            return node[x].Val;
        }
}DataTreap,DeltaTreap;//DataTreap存储所有元素，DeltaTreap存储相邻两元素之差
int main()
{
    register int i,Q,x,y,pre,nxt;register string op;
    for(F.read(n),F.read(Q),i=1;i<=n;++i) F.read(front[i]),back[i]=front[i],F5(front[i]),DataTreap.Insert(back[i]),i>1&&(DeltaTreap.Insert(abs(back[i]-back[i-1])),0); //读入元素，更新ans，并将当前元素插入DataTreap，将当前元素与前一个元素的差值插入DeltaTreap
    while(Q--)
    {
    	F.read_string(op);
    	if(op[0]^'M') F.read(x),F.read(y),F5(y),DataTreap.Insert(y),DeltaTreap.Insert(abs(y-back[x])),x<=n&&(DeltaTreap.Delete(abs(front[x+1]-back[x])),DeltaTreap.Insert(abs(front[x+1]-y)),0),back[x]=y;//更新ans，将当前元素插入DataTreap，将其左右两边元素的差值从DeltaTreap中删去，然后将这个元素与其左右两边元素的差值插入至DeltaTreap中
    	else F.write(op[4]^'S'?DeltaTreap.get_min():ans),F.write_char('\n');//对于MIN_GAP操作，输出DeltaTreap中的最小值；对于MIN_SORT_GAP操作，输出ans
    }
    return F.end(),0;
}