线性基入门

前言

线性基真的是一个非常神奇的算法。

它可以用于求解一个集合内的最大异或和，而且效率极高，是\(O(N\ log\ MaxNum)\)的时间复杂度。

所以，它还是十分值得一学的。

关于线性基的定义

什么是线性基？

对于一个数组\(a_1a_2...a_n\)，我们可以用\(num_1num_2...num_{log\ max(a_i)}\)来记录第一个二进制下最高位出现在第\(i\)位的数字。

并通过这个\(num\)数组，来求出这个数组中的最大异或和。

具体构造方式

关于线性基的构造，其实也是十分巧妙的。

我们先找到当前插入的数\(x\)二进制下的最高位\(i\)，然后对此时\(num_i\)是否为\(0\)进行分类讨论：

• \(num_i=0\)。说明这一位上还没有元素，所以令\(num_i=x\)。
• \(num_i≠0\)。说明这一位上有元素了，则我们令\(x\)^\(=num_i\)，从而将这一位消去，然后继续寻找\(x\)的最高位，重复以上过程。

由于\(x\)的最高位肯定是递减的，所以单次时间复杂度是\(O(log_{a_i})\)的，总复杂度是\(O(N\ log\ max(a_i))\)的。

询问最大异或和

关于如何询问最大异或和，其实也是很简单的。

我们从高位到低位枚举每一个\(p_i\)，并用\(ans\)记录答案。

对于当前\(p_i\)，我们有一个贪心的策略：若\(ans\)^{$num_i>ans$，则更新$ans$为$ans$}\(num_i\)，否则就跳过。

这样贪心乍一看仿佛漏洞百出，实际上仔细一想还是有一定道理的。

为什么这样贪心一定是对的呢？

首先我们要知道一个最简单的性质：对于\(num_i\)，如果它不为\(0\)，则它二进制下最高位一定是第\(i\)位。

关于这一点的证明，可以结合上文线性基的定义与构造方式，这里就不予证明了。

则不难想到，\(ans\)^\(num_i\)后被影响到的肯定是后\(i\)位，且第\(i\)位肯定是发生变化的。

所以，如果\(ans\)^\(num_i>ans\)，我们就可以得到：原\(ans\)二进制下第\(i\)位为\(0\)，异或后的\(ans\)二进制下第\(i\)位为\(1\)。

由于后续操作是不会影响到第\(i\)位及前面已操作位的大小的，所以第\(i\)位肯定越大越优。

于是就可以通过贪心来求解了。

关于为什么\(ans\)^\(num_i\le ans\)就跳过不再处理，其实也是同理的。

其他操作

除了这两个比较基础的操作，其实线性基还是有很多用途的，如：

• 查询是否有某些数异或和为\(k\)。
• 查询第\(k\)小值。

关于这些操作，我也只是听说过，因此这里就不介绍了。

代码

以【洛谷3812】【模板】线性基这道模板题为例，贴一份代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 50
#define LL long long
using namespace std;
int n;
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        #define pc(ch) (void)(putchar(ch))
        int Top;char ch,*A,*B,Fin[Fsize],Stack[Fsize];
    public:
        FIO() {A=B=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0;while(!isdigit(ch=tc()));while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));}
        inline void read(LL &x) {x=0;while(!isdigit(ch=tc()));while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));}
        inline void write(LL x) {if(!x) return pc('0');while(x) Stack[++Top]=x%10+48,x/=10;while(Top) pc(Stack[Top--]);}
}F;
class Class_LinearBasis//线性基模板
{
    private:
        #define LogMax 50
        LL num[LogMax+5];
    public:
        inline void Insert(LL x)//插入
        {
            for(register int i=LogMax;~i;--i) 
            {
                if(!(x&(1LL<<i))) continue;//如果x第i位上值为0，跳过 
                if(num[i]) x^=num[i];else return (void)(num[i]=x);//如果这一位上没有值，就令num[i]=x；否则，令x^=num[i]
            }
        }
        inline LL QueryMax(register LL ans=0)//查询最大异或和
        {
            for(register int i=LogMax;~i;--i) if((ans^num[i])>ans) ans^=num[i];//对于每一个num[i]贪心决定选与不选
            return ans;//返回答案
        }
}LinearBasis;
int main()
{
    register int i;register LL x;
    for(F.read(n),i=1;i<=n;++i) F.read(x),LinearBasis.Insert(x);
    return F.write(LinearBasis.QueryMax()),0;
}