Kruskal重构树补记

前言

一直以为\(Kruskal\)重构树是一个冷门数据结构，结果发现\(NOI2018Day1T1\)和\(APIO2020T2\)中都出现了它的身影。

\(Kruskal\)重构树一般用于做只能在边权大于等于/小于等于\(v\)的边上走路之类的问题，它具有许多奇妙的性质。

总而言之，看到瓶颈生成树问题找它就对了。

构建方法

\(Kruskal\)求\(MST\)的算法应该是众所周知的，而\(Kruskal\)重构树的构建就建立在这一算法的基础上。

根据\(Kruskal\)算法的思想，要先将边按边权排序，然后每次选出权值最大/最小且两端尚未连通的边，将这条边加入到\(MST\)中。

\(Kruskal\)重构树会把\(MST\)中的边也看作点，对于每个连通块都要维护一棵二叉树。

每当选出一条新边时，就让它作为它连接的两个连通块的根节点的父亲。

显然，最终会建成一棵由\(2n-1\)个节点构成的二叉树，而这就是\(Kruskal\)重构树。

性质

1. \(Kruskal\)重构树中的叶节点对应原图中的点，非叶节点对应原图中的边。
2. 令每个非叶节点的点权为所对应边的边权，根据\(Kruskal\)重构树的建法，任意一条从非叶节点到根节点的路径，所经点的点权必然是单调的。
3. 对于原图中的两点\(x,y\)，从\(x\)到\(y\)的瓶颈就是\(Kruskal\)重构树中\(LCA(x,y)\)的点权。

重要结论

从\(x\)出发只经过边权大于等于/小于等于\(v\)的边所能到达的点集，就是\(x\)深度最小的点权大于等于\(v\)/小于等于\(v\)的祖先子树内所有的叶节点。（可由性质\(3\)推导）

实际求解时可以利用性质\(2\)中点权的单调性倍增上跳\(O(logn)\)求出这个祖先。

例题

【LOJ2718】「NOI2018」归程