【洛谷6577】【模板】二分图最大权完美匹配

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• 给定一张二分图，两边各有\(n\)个点，共有\(m\)条边，求这张二分图的最大权完美匹配。
• \(n\le500,m\le\frac{n(n-1)}2\)

\(KM\)算法

这个算法的核心思想就是给每个点一个顶标（两边点都有），满足\(a_i+b_j\ge w_{i,j}\)。

然后对于一条满足\(a_i+b_j=w_{i,j}\)的边，定义它为一条相等边。由相等边构成的子图称作相等子图。

而\(KM\)算法建立在一个基本结论上：当每个相等子图完备匹配时，二分图得到最大匹配。

其实很容易就可以找到一个可行的顶标分配方案，因此可以找到一种顶标的分配，然后在找增广路的时候同时调整，并在发现相等子图的完备匹配时立刻匹配。

具体流程就是先分配可行顶标，然后匈牙利算法去寻找增广路，找不到的时候就调整顶标，直至找到为止。

这种做法很好写，但会被卡成\(O(n^4)\)，所以需要优化。

从\(DFS\)到\(BFS\)的优化

本质其实不变。

就是考虑到每次调整其实变动很小，重新\(DFS\)会造成大量冗余。

因此我们改用\(BFS\)，一般情况下能够做到\(O(n^3)\)，但据说还是有可能被卡成\(O(n^4)\)的（该有多无聊的出题人才会卡这玩意啊）。

代码：\(O(n^3)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 500
#define INF 1e9
using namespace std;
int n,m,ex[N+5],ey[N+5],a[N+5][N+5];
int s[N+5],p[N+5],vis[N+5],px[N+5],py[N+5],sl[N+5];I void Match(CI id)//BFS寻找匹配
{
	RI i,x,v,o;LL d;for(i=1;i<=n;++i) p[i]=0,sl[i]=INF;//初始化
	s[v=0]=id;W(s[v])//不断搜索
	{
		for(x=s[v],d=INF,vis[v]=i=1;i<=n;++i) !vis[i]&&//如果没有访问过
			(sl[i]>px[x]+py[i]-a[x][i]&&(sl[i]=px[x]+py[i]-a[x][i],p[i]=v),sl[i]<d&&(d=sl[o=i]));//更新，p[i]记录前驱
		for(i=0;i<=n;++i) vis[i]?(px[s[i]]-=d,py[i]+=d):sl[i]-=d;v=o;//利用最小的差值更新被访问到的点的信息
	}
	W(v) s[v]=s[p[v]],v=p[v];//更新一遍
}
int main()
{
	RI i,j;for(scanf("%d%d",&n,&m),i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) a[i][j]=-INF;//初始所有边权是-INF
	RI x,y,z;for(i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),a[x][y]=max(a[x][y],z);//记录边信息
	for(i=1;i<=n;++i) {for(j=1;j<=n;++j) vis[j]=0;Match(i);}//KM算法
	LL t=0;for(i=1;i<=n;++i) t+=a[s[i]][i];for(printf("%lld\n",t),i=1;i<=n;++i) printf("%d ",s[i]);return 0;//输出答案并给出方案
}