【HDU4947】GCD Array（莫比乌斯反演+树状数组）

点此看题面

大致题意： 一个长度为\(n\)的数组，实现两种操作：将满足\(gcd(i,k)=d\)的\(a_i\)加上\(v\)，询问\(\sum_{i=1}^xa_i\)。

对于修改操作的推式子

莫比乌斯反演真是个神奇而又有趣的东西......

考虑修改操作是将满足\(gcd(i,k)=d\)的\(a_i\)加上\(v\)，则若\(d\not| k\)，显然是不存在满足条件的\(i\)的，可以直接忽略这一修改操作（忘记判断结果调到心态爆炸......）

否则，也就相当于：

\[a_i+=v\cdot[gcd(i,k)=d] \]

将\([gcd(i\cdot d,k)=d]\)转化，即三个数同时除以\(d\)，得到：

\[a_i+=v\cdot[gcd(\frac id,\frac kd)=1] \]

根据\(\sum_{p|x}\mu(p)=[x=1]\)这一性质，我们就可以将上述式子再次变形，得到：

\[a_i+=\sum_{p|\frac id,p|\frac kd}v\cdot\mu(p) \]

因为原式中\(p|\frac id\)这一限制等同于\((p\cdot d)|i\)，所以就等同于：

\[a_i+=\sum_{(p\cdot d)|i,p|\frac kd}v\cdot \mu(p) \]

如果我们枚举满足\(p|\frac kd\)的\(p\)，并增开一个辅助数组\(f\)，每次修改操作就相当于修改\(f\)：

\[f_{p\cdot d}+=v\cdot\mu(p) \]

那么对于\(a_i\)，其实就可以得到：

\[a_i=\sum_{j|i}f_j \]

对于询问操作的推式子

题目询问我们\(\sum_{i=1}^xa_i\)。

由之前推出的式子我们知道：

\[a_i=\sum_{j|i}f_j \]

所以，答案就是：

\[\sum_{i=1}^x\sum_{j|i}f_j \]

调整枚举顺序，先枚举\(j\)，得到：

\[\sum_{j=1}^x\lfloor\frac xj\rfloor f_j \]

所以，我们可以先除法分块，并利用树状数组实现对\(f\)的区间求和，即可得出答案了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
#define LL long long
#define pb push_back
using namespace std;
int n;vector<int> v[N+5];
class FastIO
{
	private:
		#define FS 100000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define pc(c) (C==E&&(clear(),0),*C++=c)
		#define tn (x<<3)+(x<<1)
		#define D isdigit(c=tc())
		int T;char c,*A,*B,*C,*E,FI[FS],FO[FS],S[FS];
	public:
		I FastIO() {A=B=FI,C=FO,E=FO+FS;}
		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
		Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%10+48,x/=10);W(T) pc(S[T--]);}
		Tp I void writeln(Con Ty& x) {write(x),pc('\n');}
		I void put_case(CI x) {pc(67),pc(97),pc(115),pc(101),pc(32),pc(35),write(x),pc(58),pc(10);}
		I void clear() {fwrite(FO,1,C-FO,stdout),C=FO;}
}F;
class LinearSieve//线性筛预处理莫比乌斯函数
{
    private:
        int Pt,P[N+5],mu[N+5];
    public:
        I int operator [] (CI x) Con {return mu[x];}
        I LinearSieve()
        {
            mu[1]=1;for(RI i=2,j;i<=N;++i)
                for(!P[i]&&(mu[P[++Pt]=i]=-1),j=1;j<=Pt&&1LL*i*P[j]<=N;++j)
                    if(P[i*P[j]]=1,i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];else break;
        }
}Mu;
class TreeArray//树状数组实现单点修改、区间求和
{
	private:
		LL a[N+5];
	public:
		I void Clear() {memset(a,0,sizeof(a));}
		I void Add(RI x,CI y) {W(x<=n) a[x]+=y,x+=x&-x;}
		I LL Qry(RI x,LL t=0) {W(x) t+=a[x],x-=x&-x;return t;}
}T;
int main()
{
	RI Tt=0,Qt,op,x,y,z,l,r;LL t;vector<int>::iterator it;
	for(RI i=1,j;i<=N;++i) if(Mu[i]) for(j=i;j<=N;j+=i) v[j].pb(i);//预处理约数，注意μ=0可忽略
	W(F.read(n),F.read(Qt),n&&Qt)
	{
		F.put_case(++Tt),T.Clear();W(Qt--) switch(F.read(op),F.read(x),op)
		{
			case 1:if(F.read(y),F.read(z),x%y) continue;x/=y;//注意判断不整除情况直接跳过
				for(it=v[x].begin();it!=v[x].end()&&*it*y<=n;++it) T.Add(*it*y,Mu[*it]*z);break;//枚举约数在树状数组上修改
			case 2:for(t=0,l=1;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),t+=(T.Qry(r)-T.Qry(l-1))*(x/l);F.writeln(t);break;//除法分块+树状数组求答案
		}
	}return F.clear(),0;
}