扩展中国剩余定理（EXCRT）小记

前言

其实\(EXCRT\)也并不像想象中那么难嘛。

记得之前学的时候翻了好多博客都看不懂，现在可能是因为找到一篇通俗易懂的题解，一下就把这个算法搞明白了。

同余方程

给定一个如下形式的方程：

\[\begin{cases} x\equiv b_1(\texttt{mod}\ a_1)\\ x\equiv b_2(\texttt{mod}\ a_2)\\ \vdots\\ x\equiv b_n(\texttt{mod}\ a_n) \end{cases} \]

与\(CRT\)不同的是，\(EXCRT\)可以求解\(a_1,a_2,...,a_n\)不互质的情况。

算法流程

考虑我们从左向右扫，维护前\(i-1\)个同余方程的答案\(ans\)以及前\(i-1\)个\(a\)的最小公倍数\(M\)。

现在我们要修改\(ans\)让它在依然满足前\(i-1\)个方程的同时满足第\(i\)个方程。

发现只要我们给\(ans\)加上的数是\(M\)的倍数，它就必然依旧满足前\(i-1\)个方程。

于是我们考虑列出一个不定方程：

\[ans+Mx=b_i+a_iy \]

移项得到：

\[Mx-a_iy=b_i-ans \]

这里由于我们并不需要知道\(y\)的具体值，其实也可以写成\(Mx+a_iy=b_i-ans\)，主要看个人习惯。

至于这个方程明显是可以\(exgcd\)求解的。

然后只要给\(ans\)加上\(Mx\)，更新\(M\)为\(lcm(M,a_i)\)，继续做下去就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define LL long long
#define N 100000
using namespace std;
int n;LL a[N+5],b[N+5];
I LL QM(LL x,LL y,LL X) {LL k=(1.0L*x*y)/X,t=x*y-k*X;t-=X;W(t<0) t+=X;return t;}//快速乘
I LL exgcd(LL x,LL y,LL& a,LL& b) {LL g;return y?(g=exgcd(y,x%y,b,a),b-=a*(x/y),g):(a=1,b=0,x);}//exgcd解不定方程
int main()
{
	RI i;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%lld%lld",a+i,b+i);
	LL ans=b[1],M=a[1],g,A,B;for(i=2;i<=n;++i) A=B=0,g=exgcd(M,a[i],A,B),//ans维护答案，M维护lcm
		ans+=QM(A,(b[i]-ans%a[i]+a[i])%a[i]/g,a[i]/g)*M,M*=a[i]/g,ans=(ans%M+M)%M;//更新ans和M，注意先更新M再取模
	return printf("%lld\n",ans),0;
}