初学狄利克雷卷积

前言

狄利克雷卷积可以算是数论中的一个比较重点的内容吧。

它有许多作用，例如证明莫比乌斯反演定理。

同时，它也是杜教筛等玄学算法的基础。

关于积性函数

要学习狄利克雷卷积，就得先对积性函数有一定的了解。

关于积性函数可以看一下这篇博客：关于积性函数的一些知识。

定义

我们通常定义\(f*g=\sum_{d|n}f(d)·g(\frac nd)\)。

性质

与乘法类似，狄利克雷卷积也满足三大运算律：交换律、结合律和分配律。

这应该还是比较显然的，无需证明吧。

应用：证明莫比乌斯反演定理

接下来，我们来看一下狄利克雷卷积的一个应用：证明莫比乌斯反演定理。

真感觉用狄利克雷卷积来证明莫比乌斯反演定理也不是很难理解。

如果你不知道什么是莫比乌斯反演定理，可以去看一下这篇博客：初学莫比乌斯反演。

下面是关于它的证明：

由于莫比乌斯函数的性质，所以：

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1] \]

而我们知道，有一个叫做元函数的积性函数\(e(n)\)，它的定义是：

\[e(n)=[n==1] \]

不难发现，这两个式子右边是一样的。

于是就容易想到用\(I\)去卷\(\mu\)，得到这样一个结论：

\[\mu*I=e \]

有了这个结论，下一步就是证明莫比乌斯反演定理了。

根据莫比乌斯反演中\(F(n)\)和\(f(d)\)两个函数的定义，我们可知：

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

然后就不难想到把它转换成狄利克雷卷积的形式，即：

\[F=f*I \]

可以考虑将等式两边个卷上一个\(\mu\)，此时等式依然成立：

\[F*\mu=f*I*\mu \]

然后就不难发现这样做的意义了：等式右边出现了\(\mu*I\)。而根据上面得到的结论，我们又可以知道，\(\mu*I=e\)，又由于\(f\)卷\(e\)之后依然为\(f\)，于是原式就被转化成了这样：

\[F*\mu=f \]

再将它转化回来，就变成了这样：

\[f(d)=\sum_{d|n}\mu(d)·F(\frac nd) \]

于是就证明完了。

后记

狄利克雷卷积其实还可以干很多事情，如证明\(\phi\)函数的某些性质。

但是我对\(\phi\)函数还是不够熟悉，所以这里就不多介绍了。