Tarjan在图论中的应用（二）——用Tarjan来求割点与割边

前言：\(Tarjan\)

求割点和割边建立在 \(Tarjan\)算法的基础之上，因此建议在看这篇博客之前先去学一学\(Tarjan\)。

回顾\(Tarjan\)中各个数组的定义

首先，我们来回顾一下\(Tarjan\)中各个数组的定义：

\(dfn[\) \(]\)：每个点的\(dfs\)序。

\(low[\) \(]\)：每个点能到达的\(dfs\)序最小的节点的\(dfs\)序。

而其他数组在求割点和割边的过程中则不太必要了。

割点

首先，我们要了解一下割点的定义：把这个点去掉之后，这个点所在的联通块就会被分成若干个联通块。

既然这样，也就是说，只要这个节点某一个子节点所到达的节点的\(dfs\)序大于等于该节点的\(dfs\)序，即它的这个子节点无法到达\(dfs\)序小于该节点的节点，就说明它是一个割点了。

而对于一个联通块第一个访问的节点，则需特判，如果它在遍历完一个节点所能遍历到的所有节点，还能找到没有被遍历过的节点，就说明它是一个割点。

代码如下：

inline void Tarjan(int x,int lst)//Tarjan求割点
{
	register int i,tot=0;//tot记录访问到的子节点个数
	for(dfn[x]=low[x]=++d,i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)//枚举每一个子节点
	{
		if(!(e[i].to^lst)) continue;//如果这个节点是当前节点的父亲节点，就跳过
		if(!dfn[e[i].to])//如果这个子节点没有被访问过 
		{
			Tarjan(e[i].to,x),low[x]=min(low[x],low[e[i].to]),++tot;//遍历该子节点，更新low[x]，并将tot加1
			if(lst&&low[e[i].to]>=dfn[x]) IsCut[x]=1;//如果当前节点不是一个联通块第一个访问的节点，且当前节点的这个子节点dfs序大于等于当前节点的dfs序，那么就说明当前节点是割点
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);//更新low[x]
	}
	if(!lst&&tot>=2) IsCut[x]=1;//如果当前节点是联通块第一个节点，且访问到的子节点个数≥2，那么就说明当前节点是割点
}

割边

还是一样，先了解一下割边的定义：把这条边去掉之后，这条边所在的联通块就会被分成若干个联通块，看起来与割点的定义很像。

因此，如果一条边所连接的两个节点，若其中\(dfs\)序较大的节点不经过这条边所能到达的\(dfs\)序最小的节点大于这条边连接的点中\(dfs\)序较小的节点，就说明这条边是一条割边。

不过还要注意判重的情况，要注意如果有两条相同的边，那么这两条边肯定都不是割边。

代码如下：

inline void Tarjan(int x,int lst)//Tarjan求割边
{
	register int i,flag=1;//flag记录当前节点是否第一次访问它的父亲节点
	for(dfn[x]=low[x]=++d,i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)//枚举每一个子节点
	{
		if(flag&&!(e[i].to^lst)) {flag=0;continue;}//如果是第一次访问父亲节点，就将flag标记为0，并跳过这条边
		if(!dfn[e[i].to])//如果这个子节点没有被访问过
		{
			Tarjan(e[i].to,x),low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);//访问这个节点，并更新low[x]
			if(low[e[i].to]>low[x]) IsBridge[i]=1;//如果这条边连向的另一个节点所能到达的dfs序最小的节点大于该节点的dfs序，就说明这条边是割边
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);//否则，更新low[x]
	}
}