浅谈差分约束系统

前言

差分约束系统应该是一个比较有用的算法。它建立在图的思想上，常与最短（长）路算法一起出现。

一道例题

下面是一组不等式：

\[A-B≥5\tag{①} \]

\[B-E≥7\tag{②} \]

\[A-E≥6\tag{③} \]

\[D-A≥9\tag{④} \]

\[B-C≥6\tag{⑤} \]

\[C-E≥2\tag{⑥} \]

现在问你一个问题：\(A-E\)的最小值是多少？

其实在这组不等式中，我们有很多方法得到一个形如\(A-E≥x\)的式子：

• 第一种方法：由③式直接得\(A-E≥6\)

• 第二种方法：①+②得\(A-E≥12\)

• 第三种方法：①+⑤+⑥得\(A-E≥13\)

因此，我们可以求出答案：\(A-E\)的最小值是13。

用差分约束系统来求解上面这个问题

通过我们刚才的解题步骤，我们可以总结归纳出一个解决该类问题的通用方法，也就是差分约束系统。

我们刚才通过\(A-B≥5\)、\(B-C≥6\)、\(C-E≥2\)来求出了\(A-E≥13\)，仔细观察可以发现，相邻的两个式子中都有一个相同的字母，而我们正是借助了这个字母来实现转移的。

是不是有一种熟悉的感觉？

这不就是最长路径嘛！

没错，对于一个类似于\(A-B≥x\)的式子，我们可以从\(B\)向\(A\)连一条有向边，且这条边的边权为\(x\)。

这样，对于上面这个问题，我们只需求出\(E\)至\(A\)的最长路即可。

不等式的转换

对于\(A-B≥x\)的式子，我们是从\(B\)向\(A\)连边求最长路，而对于\(A-B≤x\)，则需从\(A\)向\(B\)连边求最短路。
有一个要注意的地方，就是一张图你的式子要么全是\(A-B≥x\)的形式，要么全是\(A-B≤x\)的形式，不然你就无法用差分约束系统来求解答案了。

那么如果题目中给出多种式子呢？就不能用差分约束系统了吗？

不然，其实我们可以将这些式子全部转化为同一种式子（\(A-B≥x\)或\(A-B≤x\)，下面以\(A-B≥x\)为例）：

• \(A=B\)：这个式子可以拆成\(A≥B\)和\(B≥A\)，再转换一下就变成了\(A-B≥0\)和\(B-A≥0\)
• \(A≤B\)：这个式子可以转换成\(B-A≥0\)
• \(A≥B\)：这个式子可以转换成\(A-B≥0\)
• \(A<B\)：这个式子可以改写成\(A≤B-1\)，再转换一下就变成了\(B-A≥1\)
• \(A>B\)：这个式子可以改写成\(A-1≥B\)，再转换一下就变成了\(A-B≥1\)
• \(A-B≤x\)：这个式子可以转换成\(B-A≥-x\)
• \(A-B≥x\)：这个式子不用转换
• \(A-B<x\)：这个式子可以改写成\(B-A>-x\)，再转换一下就变成了\(B-A≥1-x\)
• \(A-B>x\)：这个式子可以转换成\(A-B≥x+1\)

这样，遇到给你一些不等式，请你求出两数之差的最大（最小）值的问题，就可以轻松解决了。

例题

【洛谷1993】小K的农场

【洛谷3275】[SCOI2011]糖果