莫队算法学习笔记（二）——带修莫队
前言：什么是莫队
莫队算法，是一个十分优雅的暴力。
普通的莫队可以轻松解决一些离线问题，但是，当遇上了一些有修改操作的问题，普通莫队就无能为力了。
于是，改进后的莫队——带修莫队就这样产生了。
接下来，我们一起在普通莫队的基础之上，学会带修莫队这个强大无比的算法。
第一个问题：如何处理修改
既然是带修莫队，那么第一个关键问题就是如何处理修改。
其实，我们可以增加一个变量，来记录对于每一个询问操作，在进行询问之前一共进行了多少次修改，然后对于每一次询问，只要像普通莫队的\(L\)指针和\(R\)指针一样新增一个\(K\)指针来表示当前进行了多少次修改，而\(K\)指针的移动也与\(L\)指针和\(R\)指针是类似的。
模板如下：
register int L=0,R=0,K=0,ans=0;
for(sort(q+1,q+q_num+1,cmp),i=1;i<=q_num;++i)
{
while(K<q[i].k) Change(++K);
while(K>q[i].k) Change(K--);
while(R<q[i].r) Add(++R);
while(L>q[i].l) Add(--L);
while(R>q[i].r) Del(R--);
while(L<q[i].l) Del(L++);
res[q[i].pos]=ans;
}
而\(Change()\)函数、\(Add()\)函数和\(Del()\)函数里面的内容自己视题意而定。
第二个问题：如何写排序函数
现在加上了一个\(k\)变量来表示在每个询问之前进行了几次操作。
那么，现在的排序函数\(cmp()\)应该怎么写呢？
首先，应该判断\(l\)是否在同一块内，如果相同，就返回\(pos[x.l]<pos[y.l]\)。
然后，应该判断\(r\)是否在同一块内，如果相同，就返回\(pos[x.r]<pos[y.r]\)。
最后，再比较\(k\)的大小，即返回\(x.k<y.k\)。
模板如下：
inline bool cmp(Query x,Query y)
{
if(pos[x.l]^pos[y.l]) return pos[x.l]<pos[y.l];//判断l是否在同一块内，如果相同，就返回pos[x.l]<pos[y.l]
if(pos[x.r]^pos[y.r]) return pos[x.r]<pos[y.r];//判断r是否在同一块内，如果相同，就返回pos[x.r]<pos[y.r]
return x.k<y.k;//比较k的大小，即返回x.k<y.k
}
第三个问题：块的大小
学过莫队的人应该都知道，莫队算法需要分块。
那么带修莫队块的大小应该是多少呢？
我们就需要对这个算法的时间复杂度进行一波分析。
首先我们假设块的大小为\(n^x\)（其中\(0<x<1\)），并假设\(m\)的大小与\(n\)差不多。
那么我们分别考虑3个指针的移动：
-
对于\(L\)指针
- 在块内移动时，每一次移动的复杂度应为\(O(n^x)\)，由于共有\(m\)次询问，因此总复杂度为\(O(n^{x+1})\)。
- 到下一个块时，每一次移动的复杂度应为\(O(n^x)\)，由于块的大小为\(O(n^x)\)，因此总块数为\(O(\frac n{n^x})\)，因此总复杂度为\(O(n)\)。
\(∴L\)指针的总复杂度为\(O(n^{x+1})\)。
-
对于\(R\)指针
- \(L\)和\(R\)全都在块内移动时，每一次移动的复杂度应为\(O(n^x)\)，由于这样的情况共有\(O((\frac n{n^x})^2)\)，即\(O(n^{2-2x})\)次，因此总复杂度为\(O(n^{2-x})\)。
- \(L\)块相同且\(R\)到下一块时，每一次移动的复杂度应为\(O(n^x)\)，由于总块数为\(O(\frac n{n^x})\)，即\(O(n^{1-x})\)，因此总复杂度为\(O(n^{2-x})\)
- \(L\)指针移动到下一个块时，每一次移动的复杂度应为\(O(n)\)，由于这样的情况共有\(O(\frac n{n^x})\)，即\(O(n^{1-x})\)次，因此总复杂度为\(O(n^{2-x})\)。
\(∴R\)指针的总复杂度为\(O(n^{2-x})\)。
-
对于\(K\)指针
- \(L\)和\(R\)全都在块内移动时，此时\(K\)指针应该是递增的（因为排序时对于这样的情况我们\(return\) \(x.k<y.k\)），所以总复杂度为\(O(n)\)。
- \(L\)块相同且\(R\)到下一块时，每一次移动的复杂度应为\(O(n)\)，由于这样的情况有\(O(n^{2-2x})\)次，因此总复杂度为\(O(n^{3-2x})\)。
- \(L\)指针移动到下一个块时，每一次移动的复杂度应为\(O(n)\)，由于这样的情况共有\(O(n^{1-x})\)次，因此总复杂度为\(O(n^{2-x})\)。
\(∴K\)指针的总复杂度为\(O(n^{max(2-x,3-2x)})\)。
综上所述，算法的总时间复杂度应为\(O(n^{max(x+1,2-x,3-2x)})\)，那么我们的目的就是找到一个\(x\)（\(0<x<1\)）使\(max(x+1,2-x,3-2x)\)最小。
此时的\(x\)应取\(\frac23\)，所以块的大小就是\(O(n^{\frac23})\)。
第四个问题：时间复杂度
呃，我想这个问题应该已经在上个问题中解决了。
带修莫队的时间复杂度应为\(O(n^{\frac53})\)。
例题
带修莫队这样差不多就讲完了，下面给一道例题：
