莫队算法学习笔记（三）——树上莫队

前言

树上莫队的核心思想，就是将一棵树转化成一个序列，然后用普通莫队来搞。

初始化

以一棵树为例：

要想对这棵树进行树上莫队，我们第一步就是用一个\(s\)数组把它的括号序存下来：

\(id\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
\(s\)	1	2	4	7	8	8	7	4	5	5	2	3	6	6	3	1​

同时，我们用\(I\)数组存储每个数字在括号序列中第一次出现的位置，用\(O\)数组存储每个数字在括号序列中第二次出现的位置。

处理查询

首先，对于询问的两个数\(x,y\)，我们要保证\(I_x\le I_y\)（这可以通过\(swap\)进行保证）。

对于查询的两个节点，我们需要对其进行分类讨论。

对于祖先关系的两个点（以\(1,5\)为例）

我们需要分别找到\(x,y\)在括号序列中第一次出现的位置（即\(1\)和\(9\)）。

然后就能得到一段区间：

\[1,2,4,7,8,8,7,4,5 \]

对于出现两次的元素，我们将它去掉（在程序中只要判断一个元素出现次数的奇偶性即可）。

然后就得到这样一个区间：

\[1,2,5 \]

而这些恰好就是我们要求解的元素。

简单说，就是求解区间\([I_x,I_y]\)即可。

对于非祖先关系的两个点（以\(5,6\)为例）

我们需要找出\(x\)在括号序列中第二次出现的位置和\(y\)在括号序列中第一次出现的位置（即\(10\)和\(13\)）。

然后就能得到这样一个区间：

\[5,2,3,6 \]

注意，对于出现两次的元素，我们同样需要将它去掉，只不过这个例子中刚好没有出现这样的情况而已。

然后我们可以发现，这个区间中的元素就是除\(LCA_{x,y}\)以外要求解的全部元素。

则我们单独计算\(LCA_{x,y}\)的贡献，保存答案后再将其贡献减去即可。

例题

好好想一下，就可以发现树上莫队其实挺好理解的。

下面是一道例题：【BZOJ3757】苹果树。