【CF708D】Incorrect Flow（费用流）

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• 给定一张\(n\)个点\(m\)条边的网络，源点为\(1\)，汇点为\(n\)。
• 给出每条边的容量和流量，但可能存在流量超过容量或是一个点流量不平衡的错误情况。
• 一次操作可以将某条边的容量或流量\(\pm 1\)，求最少要多少次操作使得网络正确。
• \(n,m\le 100\)

流量不平衡网络

其实流量不平衡这种情况不仅会出现在这题，应该算是一个相当经典的问题。

实际上，很多题目中我们都需要强制某条边流量是多少甚至强制流满，那其实就相当于是要处理一个流量不平衡的网络。

针对这种问题的通用解法，就是记录每个点的入流减出流\(d_i\)，如果\(d_i>0\)说明还没流完，向超级汇连一条容量为\(d_i\)的边；如果\(d_i<0\)说明不够流，自超级源连一条容量为\(-d_i\)的边。

而对于原本的源汇点，我们还需要从原汇点向原源点连一条容量为\(INF\)的边（或是直接把它们看作一个点），因为它们俩放一起才需要满足流量平衡。

增流与退流

尽管流量的变化很灵活，但容量的变化其实是非常死板的——只有当你超过容量去增流，才需要增大容量。

于是我们根据初始情况下容量\(c\)和流量\(f\)的关系，分类讨论建图：

• \(f\le c\)：如果我们想给这条边增流，前\(c-f\)点只需\(1\)的代价增大流量，之后\(\infty\)点都需要\(2\)的代价同时增大流量和容量；而如果我们想给这条边减流，只能减\(f\)点，都需要\(1\)的代价。
• \(f>c\)：首先不管我们要减少流量还是增大容量，都必须要支付\(f-c\)的代价，这部分可以预支掉。如果我们想给这条边增流，始终都需要\(2\)的代价；而如果我们想给这条边建流，前\(f-c\)点由于已经预支无需代价，剩余还能减\(c\)点都需要\(1\)的代价。

这样一来再跑遍最小费用最大流，并加上预支代价即可。

代码：\(O(Dinic)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100
#define INF (int)1e9
using namespace std;
int n,m,d[N+5];
class MinCostMaxFlow
{
	private:
		#define PS (N+2)
		#define ES (4*N)
		#define s (n+1)
		#define t (n+2)
		#define E(x) ((((x)-1)^1)+1)
		int ee,lnk[PS+5];struct edge {int to,nxt,F,C;}e[2*ES+5];
		int lst[PS+5],IQ[PS+5],F[PS+5],C[PS+5];queue<int> q;
		I bool SPFA()
		{
			RI i,k;for(i=1;i<=t;++i) F[i]=C[i]=INF;q.push(s),C[s]=0;
			W(!q.empty()) for(i=lnk[k=q.front()],q.pop(),IQ[k]=0;i;i=e[i].nxt)
			{
				if(!e[i].F||C[k]+e[i].C>=C[e[i].to]) continue;
				C[e[i].to]=C[k]+e[lst[e[i].to]=i].C,F[e[i].to]=min(F[k],e[i].F),
				!IQ[e[i].to]&&(q.push(e[i].to),IQ[e[i].to]=1);
			}return F[t]^INF;
		}
	public:
		I void Add(CI x,CI y,CI f,CI c)
		{
			e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y,e[ee].F=f,e[ee].C=c,
			e[++ee].nxt=lnk[y],e[lnk[y]=ee].to=x,e[ee].F=0,e[ee].C=-c;
		}
		I int MCMF()
		{
			RI x,g=0;W(SPFA()) {g+=C[t]*F[t],x=t;
				W(x^s) e[lst[x]].F-=F[t],e[E(lst[x])].F+=F[t],x=e[E(lst[x])].to;}
			return g;
		}
}D;
int main()
{
	RI i,u,v,c,f,g=0;for(scanf("%d%d",&n,&m),i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&c,&f),d[u]+=f,d[v]-=f,//记录度数
		f<=c?(D.Add(u,v,c-f,1),D.Add(u,v,INF,2),D.Add(v,u,f,1)):(g+=f-c,D.Add(u,v,INF,2),D.Add(v,u,f-c,0),D.Add(v,u,c,1));//根据f与c的大小关系分类建图
	for(i=1;i<=n;++i) d[i]>0&&(D.Add(i,t,d[i],0),0),d[i]<0&&(D.Add(s,i,-d[i],0),0);//流量不平衡，根据正负和超级源汇连边
	return D.Add(n,1,INF,0),printf("%d\n",g+D.MCMF()),0;//原汇点向原源点连一条容量INF的边，答案为预支代价+最小费用
}