【CF613D】Kingdom and its Cities（重拾虚树）

点此看题面

• 给定一棵\(n\)个点的树。\(q\)组询问，每次选出\(k\)个关键点。
• 问最少删除多少非关键点才能使得关键点两两不连通。
• \(n,\sum k\le10^5\)

虚树

既然这篇博客打着“重拾虚树”的名号，自然要提一提虚树了。。。

考虑我们把所有点按\(dfs\)序排序，则原本所有的点+排序后相邻两点间的\(LCA\)就是最终虚树所需的点。

然后我们把这些点再排序一次，并开一个栈，接着枚举每一个点。

• 首先，把栈中所有不是当前点祖先的点弹掉。则最后的栈顶就是当前点在虚树上的父节点。
• 然后，把当前点加到栈中。

感觉还是比较容易理解的。

简单的求解

这道题建出虚树后剩下的就很简单了。

首先很容易判无解，就是看是否有两个关键点直接相连。

不然，我们令\(g_x\)表示\(x\)子树内仍然联通的点数，根据\(x\)是否为关键点分类讨论：

• \(x\)为关键点。显然要把所有点断开，给答案加上\(g_x\)，同时给\(g_{anc[x]}\)加上\(1\)（无法断开当前点）。
• \(x\)为非关键点。又要分三类讨论：
  • \(g_x=0\)：无需操作。
  • \(g_x=1\)：注意我们在这里把它断开显然不会更优，不如转送给父节点，因此给\(g_{anc[x]}\)加上\(1\)。
  • \(g_x>1\)：我们不得不把当前点断开，因此给\(ans\)加上\(1\)。

代码：\(O((n+\sum k)logn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define LN 20
#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y)
using namespace std;
int n,ee,lnk[N+5];struct edge {int to,nxt;}e[N<<1];
namespace VirtualTree//虚树
{
	int cnt,o[N+5],d,dI[N+5],dO[N+5],dep[N+5],fa[N+5][LN+5];
	I bool cmp(CI x,CI y) {return dI[x]<dI[y];}//根据dfs序排序
	I int LCA(RI x,RI y)//倍增LCA
	{
		RI i;dep[x]<dep[y]&&(x^=y^=x^=y);
		for(i=0;dep[x]^dep[y];++i) (dep[x]^dep[y])>>i&1&&(x=fa[x][i]);if(x==y) return x;
		for(i=LN;~i;--i) fa[x][i]^fa[y][i]&&(x=fa[x][i],y=fa[y][i]);return fa[x][0];
	}
	I void dfs(CI x=1,CI lst=0)//预处理
	{
		RI i;for(dI[x]=++d,i=1;i<=LN;++i) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		for(i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) e[i].to^lst&&
			(dep[e[i].to]=dep[fa[e[i].to][0]=x]+1,dfs(e[i].to,x),0);dO[x]=d;
	}
	int vis[N+5],S[N+5],anc[N+5],g[N+5];I void Solve()//求解一次询问的答案
	{
		RI i;for(sort(o+1,o+cnt+1,cmp),i=1;i<=cnt;++i) vis[o[i]]=1;//vis=1表示关键点
		#define Ins(x) (!vis[x]&&(vis[o[++cnt]=x]=2))//vis=2表示虚树上的非关键点
		RI x,t=cnt,ans=0;for(i=1;i^t;++i) x=LCA(o[i],o[i+1]),Ins(x);//加入相邻两点LCA
		RI T=0;for(sort(o+1,o+cnt+1,cmp),i=1;i<=cnt;++i)//排序后枚举建树
			{W(T&&dO[o[S[T]]]<dI[o[i]]) --T;anc[i]=S[T],S[++T]=i;}//维护一个栈，求出各点在虚树上的父节点
		for(i=2;i<=cnt;++i) if(vis[o[anc[i]]]==1)
			if(vis[o[i]]==1&&dep[o[anc[i]]]+1==dep[o[i]]) {puts("-1");goto Cl;}//判无解
		for(i=cnt;i;--i) vis[o[i]]==1?(ans+=g[i],++g[anc[i]]):g[i]&&(g[i]==1?++g[anc[i]]:++ans);//从叶节点向上转移
		printf("%d\n",ans);Cl:for(i=1;i<=cnt;++i) vis[o[i]]=g[i]=0;cnt=0;//注意多组询问要清空
	}
}
int main()
{
	using namespace VirtualTree;
	RI i,x,y;for(scanf("%d",&n),i=1;i^n;++i) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);dfs();//读入全树
	RI Qt;scanf("%d",&Qt);W(Qt--) {for(scanf("%d",&x);x;--x) scanf("%d",o+(++cnt));Solve();}//处理询问
	return 0;
}