【CF538H】Summer Dichotomy（二分图染色）

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• 你需要把\(n\)个老师分成两组，且已知有\(m\)对老师不想分在一起。
• 每个老师有一个希望的学生数量区间\([l_i,r_i]\)。
• 你需给出一种方案，满足能给两组老师分配学生使得学生总数在\([t,T]\)范围内。
• \(t\le T\le10^9,n,m\le10^5\)

思维+二分图染色

考虑如果存在三个老师，他们的区间两两不交，显然不可能有解。

因此，令\(L=\max_{i=1}^nl_i,R=\min_{i=1}^nr_i\)，并考虑让划分出的两组老师的学生人数分别为\(L,R\)，但\(L+R\)并不一定在\([t,T]\)范围内。

若\(L+R<t\)，显然只增大\(L\)一定是更优的；若\(L+R>T\)，那么只减小\(R\)一定是最优的。

也就是说，我们可以直接求出这两组的学生人数。

然后就是考虑每个老师可以放在哪一组中，如果哪组都不行显然无解，如果只能一组那么所有和他有关系的老师放哪组都确定了（二分图染色），如果两组都行那么先不管。

最后再给两组都行的老师随便染色就好了。

代码：\(O(n+m)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y)
using namespace std;
int n,m,t,T,l[N+5],r[N+5],c[N+5],ee,lnk[N+5];struct edge {int to,nxt;}e[2*N+5];
I void Col(CI x)//二分图染色
{
	for(RI i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) c[e[i].to]==c[x]?
		(puts("IMPOSSIBLE"),exit(0),0):!c[e[i].to]&&(c[e[i].to]=3-c[x],Col(e[i].to),0);//注意判奇环无解
}
int main()
{
	RI i,x,y,L=0,R=1e9;scanf("%d%d%d%d",&t,&T,&n,&m);
	for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",l+i,r+i),L=max(L,l[i]),R=min(R,r[i]);//求出L,R
	for(i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);//建图
	if(L+R>T&&(R=T-L),L+R<t&&(L=t-R),L<0||R<0) return puts("IMPOSSIBLE"),0;//如果L<0或R<0则无解
	#define In(x,l,r) ((l)<=(x)&&(x)<=(r))//判断一个点是否在区间内
	for(i=1;i<=n;++i) if(!In(L,l[i],r[i])&&!In(R,l[i],r[i])) return puts("IMPOSSIBLE"),0;//如果两组都不行则无解
		else if(!In(R,l[i],r[i])) {if(c[i]==2) return puts("IMPOSSIBLE"),0;c[i]=1,Col(i);}//只能放第一组
		else if(!In(L,l[i],r[i])) {if(c[i]==1) return puts("IMPOSSIBLE"),0;c[i]=2,Col(i);}//只能放第二组
	for(i=1;i<=n;++i) !c[i]&&(c[i]=2,Col(i),0);//两组都能放的随便放
	for(puts("POSSIBLE"),printf("%d %d\n",L,R),i=1;i<=n;++i) putchar(c[i]+48);return 0;//输出方案
}