【CF526F】Pudding Monsters（分治套路题）

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• 一个\(n\times n\)的正方形，其中每行每列恰有一个点。
• 问有多少子正方形，也满足每行每列恰有一个点。
• \(n\le3\times10^5\)

二维化一维

显然这道题很容易想到降维。

既然每行只有一个点，我们可以用\(a_i\)表示第\(i\)行的点在第几列。

现在问题就变成有多少区间满足其中元素排序之后值连续。

则区间\([l,r]\)合法的充要条件就是\(\max_{i=l}^ra_i-\min_{i=l}^ra_i=r-l\)。

分治套路题

对于当前分治区间\([l,r]\)，设其中点为\(mid\)，那么\([l,mid]\)和\([mid+1,r]\)两区间各自的答案可以直接递归处理。

接着我们先预处理出\(Mx,Mn\)两个数组，当\(i\in[l,mid]\)时表示\([i,mid]\)的最值，当\(i\in[mid+1,r]\)时表示\([mid+1,i]\)的最值。

现在我们就要考虑如何统计跨中点的区间的答案，分成两类情况。

两最值在中点同侧

假设在\([l,mid]\)中。

我们枚举左端点\(i\)，此时最值为\(Mx_i,Mn_i\)，所以满足\(Mx_i-Mn_i=j-i\)，即\(j=Mx_i-Mn_i+i\)。

那么我们只要验证一下\(j\)是不是一个合法的右端点即可。

两最值在中点异侧

假设最小值在\([l,mid]\)中，最大值在\([mid+1,r]\)中。

我们从大到小枚举\(i\)，同时开\(p,q\)两个指针维护出区间\([p,q]\)表示合法右端点\(j\)的取值区间，显然这东西随着\(i\)的移动是单调右移的。

此时最值为\(Mx_j,Mn_i\)，故\(Mx_j-Mn_i=j-i\)，即\(Mn_i-i=Mx_j-j\)。

那么只要开桶记一下\(Mx_j-j=x\)的\(j\)的个数，就可以了。

代码：\(O(nlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 300000
#define LL long long
using namespace std;
int n,a[N+5];LL ans;
int Mx[N+5],Mn[N+5],c[2*N+5];I void Solve(CI l,CI r)//分治
{
	if(l==r) return (void)++ans;RI i,p,q,mid=l+r>>1;Solve(l,mid),Solve(mid+1,r);//递归子区间
	Mx[mid]=Mn[mid]=a[mid],Mx[mid+1]=Mn[mid+1]=a[mid+1];
	for(i=mid-1;i>=l;--i) Mx[i]=max(Mx[i+1],a[i]),Mn[i]=min(Mn[i+1],a[i]);//预处理左区间后缀最值
	for(i=mid+2;i<=r;++i) Mx[i]=max(Mx[i-1],a[i]),Mn[i]=min(Mn[i-1],a[i]);//预处理右区间前缀最值
	for(i=l;i<=mid;++i) p=i+Mx[i]-Mn[i],mid<p&&p<=r&&Mn[i]<Mn[p]&&Mx[p]<Mx[i]&&++ans;//最值都在左区间
	for(i=mid+1;i<=r;++i) p=i-Mx[i]+Mn[i],l<=p&&p<=mid&&Mn[i]<Mn[p]&&Mx[p]<Mx[i]&&++ans;//最值都在右区间
	for(i=mid,p=q=mid+1;i>=l;ans+=c[Mn[i]-i+n],--i)//最小值在左区间，最大值在右区间
		{W(q<=r&&Mn[q]>Mn[i]) ++c[Mx[q]-q+n],++q;W(p^q&&Mx[p]<Mx[i]) --c[Mx[p]-p+n],++p;}//p,q维护合法右端点区间
	W(p^q) --c[Mx[p]-p+n],++p;//清空
	for(i=mid,p=q=mid+1;i>=l;ans+=c[Mx[i]+i],--i)//最大值在左区间，最小值在右区间
		{W(q<=r&&Mx[q]<Mx[i]) ++c[Mn[q]+q],++q;W(p^q&&Mn[p]>Mn[i]) --c[Mn[p]+p],++p;}
	W(p^q) --c[Mn[p]+p],++p;//清空
}
int main()
{
	RI i,x,y;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",&x,&y),a[x]=y;//二维化一维
	return Solve(1,n),printf("%lld\n",ans),0;
}