【CF476D】Dreamoon and Sets（构造）

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• 给定\(n,k\)，要求构造\(n\)个四元组，满足没有数字重复出现，且同一四元组中的数两两\(gcd\)为\(k\)。
• 要求所有四元组中的最大值尽可能小。
• \(n\le10^4,k\le100\)

构造

由两两\(gcd\)为\(k\)这个限制，容易得出所有数都是\(k\)的倍数。

因此如果我们把所有数都除以\(k\)，就变成要求满足同一四元组中的数两两互质。

一个基本事实，两个偶数是不可能互质的，所以一个四元组最理想状态下应该由一个偶数和三个奇数组成。

我们发现，三个连续的奇数\(x,x+2,x+4\)肯定互质（根据\(gcd\)的辗转相减性即可证明，因为\(2,4\)都不可能是一个奇数的因数）。

那么我们自然想到让前\(3n\)个奇数都出现在这\(n\)个四元组中，剩下的问题就是给每组配上一个偶数。

最优的情况肯定是\(x+1\)或\(x+3\)，这里以\(x+1\)为例，\(x+3\)其实也同理可行。

显然\(gcd(x,x+1)=gcd(x+1,x+2)=1\)，那么只要证明\(x+1\)和\(x+4\)互质。

由于\(gcd(x+1,x+4)=gcd(3,x+4)\)，因此当且仅当\(x+1\)和\(x+4\)是\(3\)的倍数，它们不会互质。

但\(x\)是从\(1\)开始每三个奇数的第一个，也就必然可以表示成\(6t+1\)的形式，那么\(x+1\)和\(x+4\)分别是\(6t+2,6t+5\)，不可能是\(3\)的倍数，故\(x+1\)和\(x+4\)互质。

因为这种构造方案充分利用了所有的奇数，肯定是最优解。

代码：\(O(n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
using namespace std;
int n,k;
int main()
{
	RI i,x;scanf("%d%d",&n,&k),printf("%d\n",(6*n-1)*k);//充分利用所有奇数
	for(i=x=1;i<=n;++i,x+=6) printf("%d %d %d %d\n",x*k,(x+1)*k,(x+2)*k,(x+4)*k);return 0;//x x+1 x+2 x+4
}