CDQ分治入门

前言

\(CDQ\)分治是一个神奇的算法。

它有着广泛的用途，甚至在某些题目中还能取代\(KD-Tree\)、树套树等恶心的数据结构成为正解，而且常数还小得多。

不过它也有一定的缺点，如必须离线操作，遇到强制在线的题目还是老老实实打树套树吧... ...

核心思想

\(CDQ\)分治的核心思想真的是非常简单，也就是分与治二字（其实所有分治算法都是这样）。

• 分： 与常见的二分一样，将\([l,r]\)区间内的问题分成两个区间\([l,mid]\)和\([mid+1,r]\)解决。
• 治： \(CDQ\)分治中的治这一部分就十分玄学了，它的思想是利用左区间来求解右区间，这与普通的分治就大不一样了。

这样讲毕竟还是十分抽象，让我们来借助一道经典例题，来粗略地见识一下\(CDQ\)分治的神奇所在。

经典例题：【BZOJ3262】陌上花开

这道题目大致题意就是要你求三维偏序。

关于二维偏序

谈到三维偏序，我们可能首先会想到二维偏序。

或许有些人不知道什么是二维偏序，但它的另一个名称——逆序对你总知道吧。

二维偏序一般可以用树状数组或归并排序来解决。

关于用树状数组，其实我们接下来还要用到。

而对于归并排序，可以发现它其实也是借助了左区间来求解右区间，或许也能算作一个比较\(Simple\)的\(CDQ\)分治？（大雾）

好了，关于逆序对我们就扯到这里，下面我们来看看如何用\(CDQ\)分治求解三维偏序。

如何求解三维偏序

• 对于第一维
  • 首先第一步是将数据按照第一维\(x\)进行排序。
  • 这样就能保证第一维是有序的了。
• 对于第二维
  • 接下来，在每一次处理完两个子区间的答案后（注意，一定要先处理子区间，因为接下来的排序会打乱元素的顺序），我们再将这两个子区间分别按照第二维\(y\)排序。
  • 此时，我们依然可以保证，左区间内每个元素的第一维始终小于右区间内每个元素的第一维。（这应该是显然的吧）
• 对于第三维
  • 我们可以用\(i\)和\(j\)分别记录右区间和左区间当前处理到的点。
  • 对于每一个\(y_j\le y_i\)的\(j\)，我们可以将其第三维\(z\)加入树状数组。
  • 由于两个区间经过排序，\(y\)的大小是递增的，所以\(j\)的大小也是递增的，这样就能稳定时间复杂度。
  • 现在，我们已经保证在树状数组中的所有元素，它的前两维皆\(\le\)当前\(i\)的前两维。因此，我们只要求出有多少个\(z\le z_i\)即可，用树状数组可以快速做到这一点。
  • 这样一来，就能计算出\(i\)的三维偏序数量了。

大致就是这样一个过程，一次没有看明白的可以再多看几遍理解一下。

最后注意一个细节：千万记得清空树状数组！而且千万记得不要直接\(memset\)！

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 100000
using namespace std;
int n,m,nn;
struct value
{
    int x,y,z,v,tot;
    inline friend bool operator == (value x,value y) {return !(x.x^y.x||x.y^y.y||x.z^y.z);}
}s[N+5];
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
inline bool cmp_x(value x,value y) {return x.x^y.x?x.x<y.x:(x.y^y.y?x.y<y.y:x.z<y.z);}//按第一维排序
inline bool cmp_y(value x,value y) {return x.y^y.y?x.y<y.y:x.z<y.z;}//按第二维排序
class Class_CDQ//CDQ分治
{
    private:
        int ans[N+5];//最后统计答案
        class Class_BIT//树状数组
        {
            private:
                #define M 200000
                #define lowbit(x) ((x)&-(x))
                int data[M+5];
            public:
                inline void Add(int x,int v) {while(x<=m) data[x]+=v,x+=lowbit(x);}//插入元素
                inline int Query(int x,int ans=0) {while(x) ans+=data[x],x-=lowbit(x);return ans;}//询问≤x的数的和
        }BIT;
    public:
        inline void Solve(int l,int r)//求解l到r这段区间内的答案
        {
            if(l>=r) return;
            register int mid=l+r>>1,i,j=l;
            Solve(l,mid),Solve(mid+1,r),sort(s+l,s+mid+1,cmp_y),sort(s+mid+1,s+r+1,cmp_y);//切记先求解子区间，然后再排序，排序之后依然能保证右区间第一维大于左区间第一维
            for(i=mid+1;i<=r;++i)
            {
                while(j<=mid&&s[j].y<=s[i].y) BIT.Add(s[j].z,s[j].v),++j;//对于每一个y[j]≤y[i]的j，将z[j]插入树状数组
                s[i].tot+=BIT.Query(s[i].z);//求出树状数组中≤z[i]的所有元素之和，从而更新i的三维偏序个数
            }
            for(i=l;i<j;++i) BIT.Add(s[i].z,-s[i].v);//切记要这样清空树状数组，memset会T飞（亲身实践）
        }
        inline void PrintAns()
        {
            register int i;
            for(i=1;i<=n;++i) ans[s[i].tot+s[i].v-1]+=s[i].v;//统计答案
            for(i=0;i<nn;++i) F.write(ans[i]),F.write_char('\n');//输出
        }
}CDQ;
int main()
{
    register int i;
    for(F.read(nn),F.read(m),i=1;i<=nn;++i) F.read(s[i].x),F.read(s[i].y),F.read(s[i].z),s[i].v=1;
    for(sort(s+1,s+nn+1,cmp_x),i=1;i<=nn;++i) n&&s[n]==s[i]?++s[n].v:(s[++n]=s[i],0);//按照第一维排序，然后去重，从而提高时间效率
    return CDQ.Solve(1,n),CDQ.PrintAns(),F.end(),0;//用CDQ分治求解
}

后记

关于\(CDQ\)分治求解三维偏序，还有一道比较好的题目：【洛谷3157】[CQOI2011] 动态逆序对，可以去做一做。
（这道题卡树套树，我的 线段树套\(Treap\) 只得了\(80\)分，于是为做这题来学了\(CDQ\)分治）