【BZOJ4870】[SHOI2017] 组合数问题（倍增）

点此看题面

大致题意： 求\(\sum_{i=0}^{\infty}C_{nk}^{ik+r}\ mod\ p\)。

前言

\(Jan\ 28th\)刷题计划（4/6），算法标签：DP、倍增。

因为一个小细节死了。

倍增

我们要考虑组合数的本质，\(C_n^m\)就是在\(n\)个数中选出\(m\)个数。

而这道题，就相当于求有多少种方案在\(nk\)个数中选出\(m\)个数满足\(m\equiv r(mod\ k)\)。

于是设\(f_{i,j}\)表示在\(i\)个数中选出\(m\)个数满足\(m\equiv j(mod\ k)\)的方案数，最后答案就是\(f_{nk,r}\)。

至于如何\(DP\)，这里考虑倍增的做法。

设当前要求的是\(f_{x,0\sim k-1}\)，则：

• 当\(x\)为偶数时，先递归求出\(f_{\frac x2,0\sim k-1}\)，然后由\(f_{x,(i+j)\%k}=f_{\frac x2,i}\cdot f_{\frac x2,j}\)这个关系式求出\(f_x\)（就相当于把选出数的个数模\(k\)为\((i+j)\%k\)分成在前半部分选出数的个数模\(k\)为\(i\)且在后半部分选出数的个数模\(k\)为\(j\)）。
• 当\(x\)为奇数时，先按上面的方法求出\(f_{x-1,0\sim k-1}\)，然后根据\(C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)得到关系式\(f_{x,i}=f_{x-1,i}+f_{x-1,(i-1+k)\%k}\)，从而求出\(f_x\)。

细节

一般情况下，边界应该设成当\(n=1\)时，\(f_{1,0}=f_{1,1}=1\)。

但要注意\(k=1,r=0\)的情况，此时边界为\(f_{1,0}=2\)（为了这个调了半天）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define K 50
using namespace std;
int n,k,r,X,f[K+5],g[K+5];
I void Work(Con long long& x)//倍增
{
	#define Copy() for(i=0;i^k;++i) g[i]=f[i],f[i]=0;//把f复制到g，同时清空f
	if(x==1) return (void)(k^1?(f[0]=f[1]=1):(f[0]=2));Work(x>>1);//判边界，否则递归处理
	RI i,j;Copy();for(i=0;i^k;++i) for(j=0;j^k;++j) f[(i+j)%k]=(1LL*g[i]*g[j]+f[(i+j)%k])%X;//动态规划
	if(x&1) {Copy();for(i=0;i^k;++i) f[i]=(g[i]+g[(i-1+k)%k])%X;}//特判奇数情况
}
int main()
{
	return scanf("%d%d%d%d",&n,&X,&k,&r),Work(1LL*n*k),printf("%d",f[r]),0;
}