【BZOJ4589】Hard Nim（FWT+快速幂）

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大致题意： \(nim\)游戏，有\(n\)堆石子，每堆石子个数都是不超过\(m\)的质数，问后手能赢的方案数。

\(nim\)游戏+\(FWT\)

显然，根据\(nim\)游戏的结论，后手能赢意味着石子数异或和为\(0\)。

考虑我们令\(p_i\)表示\(i\)是否为质数，假设当前只有两堆石子，可令：

\[f_i=\sum_{j\ xor\ k=i}p_j\times p_k \]

则\(f_0\)就是答案。

容易发现，\(j\ xor\ k=i\)，恰好是\(FWT\)中异或卷积的条件。

而\(n\)堆石子，其实就是\(n\)个\(p\)卷在一起，直接快速幂就行了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define M 50000
#define P 65536
#define X 1000000007
#define I2 500000004
using namespace std;
int n,m,p[P],a[P],t[P];
I void FWT(int *s,CI op)//FWT
{
	for(RI i=1,j,k,x,y;i^P;i<<=1) for(j=0;j^P;j+=i<<1) for(k=0;k^i;++k) x=s[j+k],y=s[i+j+k],
		s[j+k]=(x+y)%X,s[i+j+k]=(x-y+X)%X,op&&(s[j+k]=1LL*s[j+k]*I2%X,s[i+j+k]=1LL*s[i+j+k]*I2%X);
}
I void Mul(int *x,int *y) {for(RI i=0;i^P;++i) x[i]=1LL*x[i]*y[i]%X;}//直接乘
I bool IsP(CI x) {for(RI i=2;i*i<=x;++i) if(!(x%i)) return 0;return 1;}//判断是否为质数
int main()
{
	RI i;for(i=2;i<=M;++i) p[i]=IsP(i);W(scanf("%d%d",&n,&m)==2)//预处理质数表
	{
		for(i=0;i^P;++i) a[i]=0,t[i]=1;for(i=1;i<=m;++i) a[i]=p[i];FWT(a,0);//预处理快速幂数组，并用FWT把它变换掉
		W(n) n&1&&(Mul(t,a),0),Mul(a,a),n>>=1;FWT(t,1),printf("%d\n",t[0]);//快速幂，然后变回来输出
	}return 0;
}