【BZOJ4524】[CQOI2016] 伪光滑数（堆的套路题）

点此看题面

大致题意： 设一个数质因数分解后有\(k\)项，其中最大质因数为\(p_k\)。若称这个数为N-伪光滑数，当且仅当满足\(p_k^k\le N,p_k<128\)。现在求第\(K\)大的N-伪光滑数。

前言

\(Jan\ 27th\)刷题计划（1/6），算法标签：堆、Hash（完全不知道为什么会有Hash）、平衡树（可能有人闲得无聊手写个平衡树来当堆用......）。

感觉自己真的不行了，这么套路的题，先是看成第\(K\)小结果对着样例懵了半天，然后又因为一个智障的\(bug\)调了快\(20\)分钟。

预处理

一个显然的性质，当能取到最大值时，必然是\(p_1=p_2=...=p_k\)，即这个数恰好为\(p_k\)的幂。

因此我们先给小于\(128\)的质数打个表出来，然后枚举质数，把它所有小于等于\(N\)的幂都扔到一个大根堆里面。

对于每一个数，我们需要记下\(4\)个信息：最大质因子的编号\(p\)、最大能新取的质因子的编号\(m\)、这个数的值\(v\)、这个数中\(p_k\)的次数\(t\)。

质因子的编号，就是指这是第几个质数。

对于\(P_i^x\)（即第\(i\)个质数的\(x\)次幂），我们初始化\(p=i,m=i-1,v=P_i^x,t=j\)。

至于什么是最大能新取的质因子，以及这\(4\)个信息存下来有什么用，我们放后面再说。

堆套路

第\(i\)次操作，我们取出堆顶的元素，便得到了第\(i\)大的N-伪光滑数。

然后我们要考虑，根据当前得到的这个第\(i\)大的数，去生成更小的数。

如果当前最大质因子仅剩一个，即\(t=1\)了，我们就不予操作（不然就没有最大质因子了）。

否则，我们在\(1\sim m\)的范围内，枚举一个新的质因子\(P_j\)，用于替换当前的一个最大质因子。

于是就得到一个新数，新的参数分别为\(p'=p,m'=j,v'=\frac v{P_p}\times P_j,t'=t-1\)。

因此，我们就不难明白什么是最大能新取的质因子：为了保证得到的数不重复。我们每次选择的新的质因子，一定不能大于之前所选过的任意质因子，这样就能保证每一个数都只可能通过唯一一种对应方式生成。

经过\(K-1\)次操作之后，此时堆顶元素的值便是第\(K\)大的N-伪光滑数了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define K 800000
#define LL long long
using namespace std;
LL n;int k,Pt,P[128];
struct data
{
	int p,m;LL v,t;I data(CI x=0,CI s=0,Con LL& u=0,Con LL& k=0):p(x),m(s),v(u),t(k){}
	I bool operator < (Con data& o) Con {return v<o.v;}
};priority_queue<data> Q;
I bool IsP(CI x) {RI i;for(i=2;i*i<=x;++i) if(!(x%i)) return false;return true;}
int main()
{
	RI i,j;LL g;scanf("%lld%d",&n,&k);
	for(i=2;i^128&&i<=n;++i) if(IsP(i))//给质数打表
		for(P[++Pt]=g=i,j=1;g<=n;g*=i,++j) Q.push(data(Pt,Pt-1,g,j));//把质数所有小于等于n的幂扔入堆中
	data t;for(i=1;i^k;++i) if(t=Q.top(),Q.pop(),t.t>1)//当最大质因子存在大于1个时，用它来生成新数
		for(j=t.m;j;--j) Q.push(data(t.p,j,t.v/P[t.p]*P[j],t.t-1));//枚举一个新的质因子替换一个最大质因子
	return printf("%lld",Q.top().v),0;
}