【BZOJ4517】[SDOI2016] 排列计数（组合数）

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大致题意： 求长度为\(n\)的排列中恰有\(m\)个\(a_i=i\)的方案数。

大致思路

考虑这\(m\)种位置共有\(C_n^m\)种选择方式，剩余\(n-m\)个位置要满足不存在\(a_i=i\)，可以设这种方案数为\(f(n-m)\)。

于是我们考虑\(f(x)\)该如何递推。

假设当前的第一个数选择了剩余\(x-1\)个数中的某一个（有\(x-1\)种选择方式），然后就有两种情况：

• 选中的数同时又选择了第一个数，那么剩下的相当于是\(f(x-2)\)。
• 选中的数并没有选择第一个数，那么剩下的相当于是\(f(x-1)\)。

即，\(f(x)=(x-1)(f(x-1)+f(x-2))\)。

于是这道题就做完了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 1000000
#define X 1000000007
#define C(x,y) (1LL*Fac[x]*IFac[y]%X*IFac[(x)-(y)]%X)
using namespace std;
int n,m,f[N+5],Fac[N+5],IFac[N+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int main()

	RI i;for(Fac[0]=i=1;i<=N;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;//预处理阶乘
	for(IFac[N]=QP(Fac[N],X-2),i=N-1;~i;--i) IFac[i]=1LL*IFac[i+1]*(i+1)%X;//预处理阶乘逆元
	for(f[0]=1,f[1]=0,f[2]=1,i=3;i<=N;++i) f[i]=1LL*(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%X;//递推
	RI Tt;scanf("%d",&Tt);W(Tt--) scanf("%d%d",&n,&m),printf("%d\n",1LL*C(n,m)*f[n-m]%X);//求解答案
	return 0;
}