【BZOJ4416】 [SHOI2013] 阶乘字符串（状压DP）

点此看题面

大致题意： 对于一个由前\(n\)个小写字母组成的字符串，若前\(n\)个小写字母的全排列都是该字符串的子序列，则称这个字符串为阶乘字符串。求验证给定字符串是不是阶乘字符串。

前言

\(Jan\ 27th\)刷题计划（2/6），算法标签：DP。

这道题的状压\(DP\)好像是挺简单的，但\(n>21\)无解这个结论没想到，看了题解也不会证，只好昧着良心过了这道题。

一个不会证的结论

首先，先扔出一个结论：\(n>21\)时答案必然为\(NO\)。

证明？一脸懵逼，完全不会。

只想吐槽题解里很多人说是因为\(C_{450}^{21}<21!\)，这就更让我懵逼了，明明\(C_{450}^{21}\)比\(26!\)还要大，怎么就小于\(21!\)了......

所以，这个证明就坑在这里了吧。

状压\(DP\)

这道题的状压\(DP\)还是挺好推的。

设\(f_i\)（\(i\)是前\(n\)个小写字母的一个子集）表示至少要到字符串第\(f_i\)位才能使这部分字符串中存在子集\(i\)中所有小写字母的全排列。

考虑如何转移，可以想到，如果我们删去集合中一个元素\(j\)（设删去该元素后的集合为\(i-j\)），那么就要满足对于任意\(j\)，使得在\(i-j\)这个集合中所有小写字母全排列存在之后，还有元素\(j\)。

如果我们设\(g_{i,j}\)表示字符串中第\(i\)位后第一个字符\(j\)所在的位置（如果第\(i\)位之后无\(j\)，则\(g_{i,j}=strlen+1\)），那么就可以得到转移方程式：

\[f_i=max\{g_{f_{i-j},j}|j∈i\} \]

其中之所以是\(max\)，是因为要对于任意\(j\)都满足。

而\(g\)的预处理应该是比较简单的，可以直接见代码。

最后如果\(n=strlen+1\)，说明是\(No\)，否则是\(Yes\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 21
#define SL 450
#define Gmax(x,y) (x<(y)&&(x=(y)))
using namespace std;
int n,p,l,f[1<<N],g[SL+5][N+5];string s;
int main()
{
	RI Tt,i,j;cin>>Tt;W(Tt--)
	{
		if(cin>>n>>s,l=s.length(),s="#"+s,n>21) {puts("NO");continue;}//n>21直接输出No
		for(i=1;i<=n;++i) g[l][i]=g[l+1][i]=l+1;//初始化g的边界
		for(i=l-1;~i;--i) {for(j=1;j<=n;++j) g[i][j]=g[i+1][j];g[i][s[i+1]&31]=i+1;}//初始化g
		for(p=1<<n,i=0;i^p;++i) for(f[i]=0,j=1;j<=n;++j) i&(1<<j-1)&&Gmax(f[i],g[f[i^(1<<j-1)]][j]);//动态规划
		puts(f[p-1]==l+1?"NO":"YES");//判断是否可行
	}return 0;
}