【BZOJ3994】[SDOI2015] 约数个数和（莫比乌斯反演）

点此看题面

大致题意： 设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数，求\(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Md(i·j)\)。

莫比乌斯反演

这是一道莫比乌斯反演题。

一个重要的性质

首先我们要先了解\(d(i·j)\)这个函数的性质：

\[d(i·j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1] \]

证明： 应该就是枚举\(i\)和\(j\)的约数\(i_0,j_0\)，要求\(\frac{i}{i_0},j_0\)互质，避免重复计算。

一些定义

按照莫比乌斯反演的常见套路，我们可以定义\(f(d)\)和\(F(n)\)如下：

\[f(d)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[gcd(i,j)==d] \]

\[F(n)=\sum_{n|d}f(d) \]

然后由莫比乌斯反演的某些性质，我们可以得到下面这个式子：

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\lfloor\frac dn\rfloor)F(d) \]

公式化简

首先，题目中已经给出：

\[answer=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Md(i·j) \]

由于上面提到的性质，我们可以得到：

\[answer=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1] \]

根据莫比乌斯函数\(\mu\)的性质：\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\)，所以，我们可以将\(\mu\)代入，将原式变成这个样子：

\[answer=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d) \]

由于这个式子难以操作，因此，我们可以将原式略作修改，改成对\(d\)进行枚举，变成这个样子：

\[answer=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)*[d|gcd(x,y)] \]

不难发现，\(\mu(d)\)的值是与\(i,j,x,y\)无关的，因此可以将其单独提出，就变成了这样：

\[answer=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\sum_{x|i}\sum_{y|j}[d|gcd(x,y)] \]

然后，我们可以从枚举\(i,j\)及其约数\(x,y\)，转变为直接枚举约数\(x,y\)，然后将其贡献乘上约数倍数的个数（这应该还是比较好理解的），于是就有了下面这个式子：

\[answer=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M[d|gcd(x,y)]\lfloor\frac Nx\rfloor\lfloor\frac My\rfloor \]

考虑由\(d|gcd(x,y)\)可以得到\(d|x\)且\(d|y\)，即\(x\)和\(y\)是\(d\)的倍数所以我们就可以通过直接枚举\(d\)的倍数\(d·x\)和\(d·y\)来取代枚举\(x,y\)，从而消去\(d|gcd(x,y)\)这个限制：

\[answer=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor\frac Nd\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac Md\rfloor}\lfloor\frac N{d·x}\rfloor\lfloor\frac M{d·y}\rfloor \]

最后，我们可以将原式稍作变动，得到下面这个式子：

\[answer=(\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d))(\sum_{x=1}^{\lfloor\frac Nd\rfloor}\lfloor\frac N{d·x}\rfloor)(\sum_{y=1}^{\lfloor\frac Md\rfloor}\lfloor\frac M{d·y}\rfloor) \]

求解答案

不难想到对这个式子中的后两部分进行除法分块（貌似需要二次除法分块），然后对\(\mu(d)\)用前缀和预处理一下，就能做到单次询问\(O(\sqrt N)\)的时间复杂度，这样就能过了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 50000
using namespace std;
int n,m;
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_Mobius//莫比乌斯反演
{
    private:
        int Prime_cnt,mu[N+5],Prime[N+5];bool IsNotPrime[N+5];
    public:
        int sum[N+5];LL g[N+5];
        Class_Mobius()//预处理
        {
            register int i,j,l,r;
            for(mu[1]=1,i=2;i<=N;++i)//求出莫比乌斯函数
            {
                if(!IsNotPrime[i]) Prime[++Prime_cnt]=i,mu[i]=-1;
                for(j=1;j<=Prime_cnt&&i*Prime[j]<=N;++j) 
                    if(IsNotPrime[i*Prime[j]]=true,i%Prime[j]) mu[i*Prime[j]]=-mu[i];else break;
            }
            for(i=1;i<=N;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];//求出前缀和
            for(i=1;i<=N;++i) for(l=1;l<=i;l=r+1) r=i/(i/l),g[i]+=1LL*(r-l+1)*(i/l);//第一次除法分块
        }
}Mobius;
int main()
{
    register int l,r,lim,T;register LL ans;F.read(T);
    while(T--)
    {
        for(F.read(n),F.read(m),ans=0,l=1,lim=min(n,m);l<=lim;l=r+1)//第二次除法分块
            r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=1LL*(Mobius.sum[r]-Mobius.sum[l-1])*Mobius.g[n/l]*Mobius.g[m/l];
        F.write(ans),F.write_char('\n');
    }
    return F.end(),0;
}