【BZOJ3112】[ZJOI2013] 防守战线（单纯形法与线性规划）

点此看题面

大致题意： \(\begin{aligned}min\ \ &\sum_{j=1}^nc_jx_j&\\s.t.\ \ &\sum_{j=l_i}^{r_i}x_j\ge b_i&i=1,2,...,m\\&x_j\ge0&j=1,2,...,n\end{aligned}\)

对偶图

首先，我们把它转化一下，令\(a_{i,j}=[j\in[l_i,r_i]]\)，得到：

\[\begin{aligned}min\ \ &\sum_{j=1}^nc_jx_j&\\s.t.\ \ &\sum_{j=1}^na_{i,j}x_j\ge b_i&i=1,2,...,m\\&x_j\ge0&j=1,2,...,n\end{aligned} \]

然后我们发现，这东西和我们熟知的线性规划式子并不一样，它求的是最小值，且限制中式子的符号都是大于等于，刚好和线性规划相反。

然而，有一种名叫线性规划对偶的东西，证明这个问题的最优解等同于下面这个问题的最优解：

\[\begin{aligned}max\ \ &\sum_{j=1}^nb_jx_j&\\s.t.\ \ &\sum_{j=1}^na_{j,i}x_j\le c_i&i=1,2,...,m\\&x_j\ge0&j=1,2,...,n\end{aligned} \]

而这就是经典的线性规划，直接套板子即可。

除此之外，这里限制矩阵的系数只有\(0,1\)，被称作全幺模矩阵（实际上全幺模矩阵的系数还可以有\(-1\)），而这种矩阵的答案必然为整数，符合题意。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 1000
#define M 10000
#define DB double
#define eps 1e-8
using namespace std;
int n,m;DB a[N+5][M+5];
namespace SimplexMethod//限制矩阵只有0,1，简化版的单纯形法
{
	I void Pivot(CI l,CI e)
	{
		RI i,j;DB t=a[l][e];for(a[l][e]=1,i=0;i<=n;++i) a[l][i]/=t;
		for(i=0;i<=m;++i) if(i^l&&fabs(a[i][e])>eps)
			for(t=a[i][e],a[i][e]=j=0;j<=n;++j) a[i][j]-=t*a[l][j];
	}
	I void Simplex()
	{
		RI i,l,e;DB Mn;W(1)
		{
			for(l=e=0,Mn=1e9,i=1;i<=n;++i) if(a[0][i]>eps) {e=i;break;}if(!e) return;
			for(i=1;i<=m;++i) a[i][e]>eps&&a[i][0]/a[i][e]<Mn&&(Mn=a[i][0]/a[i][e],l=i);Pivot(l,e);
		}
	}
	I void Solve() {Simplex(),printf("%d\n",(int)(-a[0][0]+0.5));}//四舍五入得到整数
};
int main()
{
	RI i,j,x,y;for(scanf("%d%d",&m,&n),i=1;i<=m;++i) scanf("%lf",a[i]);//注意对偶
	for(i=1;i<=n;++i) for(scanf("%d%d%lf",&x,&y,a[0]+i),j=x;j<=y;++j) a[j][i]=1;
	return SimplexMethod::Solve(),0;//单纯形法
}