【BZOJ3028】食物（生成函数基础题）

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大致题意： 给定你若干物品的数量要求（题解里有，这里省略），求选出\(n\)个物品的方案数。

前言

无意中刷到这道生成函数基础题。（生成函数可见这篇博客：初学生成函数（一）——普通生成函数）

上次【洛谷2000】拯救世界因为要高精结果没写坑掉了，这次一看不用高精就来水一发。

生成函数

考虑搞出每种物品的生成函数。

承德汉堡（偶数个）：\(x^0+x^2+x^4+...=\frac1{1-x^2}\)

可乐（\(0\)个或\(1\)个）：\(x^0+x^1=\frac {1-x^2}{1-x}\)

鸡腿（\(0\)个，\(1\)个或\(2\)个）：\(x^0+x^1+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}\)

蜜桃多（奇数个）：\(x^1+x^3+x^5+...=\frac x{1-x^2}\)

鸡块（\(4\)的倍数个）：\(x^0+x^4+x^8+...=\frac1{1-x^4}\)

包子（\(0\)个，\(1\)个，\(2\)个或\(3\)个）：\(x^0+x^1+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}\)

土豆片炒肉（不超过一个）：\(x^0+x^1=\frac{1-x^2}{1-x}\)

面包（\(3\)的倍数个）：\(x^0+x^3+x^6+...=\frac1{1-x^3}\)

然后把这些东西全部乘在一起并约分（这一过程省略，相信大家都会）得到：

\[\frac x{(1-x)^4} \]

处理询问

询问问的是选出\(n\)个物品的方案数，也就是生成函数\(n\)次项的系数。

考虑该生成函数就等于\(x(\frac1{1-x})^4\)。

由于\(\frac1{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty}x^i\)，所以如果我们去掉\(x\)这一项，那就相当于求\((\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^4\)第\(n-1\)项的次数。

也就是把\(n-1\)个格子划分为\(4\)部分（每一部分可以为空）的方案数，那么用隔板法，一共有\(n\)个间隔和\(3\)个板，方案数就是：

\[C_{n+2}^3 \]

对于读入我们直接读入字符串，然后转化为\(int\)时同时取模，这样就可以避免高精了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define LEN 500
#define X 10007
using namespace std;
int n;char s[LEN+5];
int main()
{
	RI i,l;for(scanf("%s",s+1),i=1,l=strlen(s+1);i<=l;++i) n=((n<<3)+(n<<1)+(s[i]&15))%X;//转化过程中同时取模
	return printf("%d",(1LL*(n+2)*(n+1)*n/6)%X),0;//输出C(n+2,3)
}