【BZOJ2927】[POI1999] 多边形之战（博弈论SB题）

点此看题面

大致题意： 用\(n-3\)条对角线将一个\(n\)边形分为\(n-2\)个三角形，其中一个三角形是黑色的。每人每次可以剪开一条对角线，问谁有先剪下黑色三角形的必胜策略。

前言

明明很想认真学学博弈论的说，却不知道为什么会找到这样一道SB题。。。

这种题目只是又来水一发博客而已。。。

分类讨论

实际上，题目中给出\(n-2\)个三角形，除了黑色三角形外其余的都是没用的。

而对于这个黑色三角形，我们只需知道它有几条边不在边界上（即需要剪几次），然后这个三角形也没用了。

接下来，我们就对它需要剪几次来分类讨论：

• \(1\)次：显然先手必赢。
• \(2\)次：显然当谁剪了第一次，另一个人可以立刻剪掉第二次，然后就赢了。因此，每个人都会尽量避免去剪第一次。那么他们能干什么呢？只能去剪剩余的\(n-5\)条对角线，直至剪完为止。也就是说，如果\(n-5\)为奇数，先手赢，否则后手赢。
• \(3\)次：和上一种情况很像，谁剪了第二次，另一个人可以立刻剪掉第三次。而第一次剪不剪其实没什么大影响，因此同样是可以在\(n-5\)条对角线中任意剪，直至剪完。最终的结论也是一样的。

综上所述，先手赢的条件为三角形只需剪\(1\)次，或\(n-5\)为奇数（即\(n\)为偶数）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 50000
using namespace std;
int n,a,b,c;
int main()
{
	#define S(x,y) (abs((x)-(y))^1&&abs((x)-(y))^(n-1))//判断三角形这条边是否需要剪
	scanf("%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c);RI t=S(a,b)+S(a,c)+S(b,c);
	return puts((t==1||(n-5)&1)?"TAK":"NIE"),0;//如果t=1，或n-5为奇数，先手赢
}