【BZOJ2024】[SHOI2009] 舞会（动态规划）

点此看题面

• 有\(n\)个男人和\(n\)个女人，每个人有一个身高。
• 先要将他们配成\(n\)对，满足最多有\(k\)对中女人比男人高，求方案数。
• \(n\le200\)

动态规划+分类讨论

我们先将所有男人和女人分别按身高排个序，然后设\(f_{i,j}\)表示前\(i\)个男人和前\(i\)个女人配对产生\(j\)个女人比男人高的对的方案数。

然后就是分类讨论。

第\(i\)个男人不矮于第\(i\)个女人

首先考虑如果对数不变。

一种情况是第\(i\)个女人替换了之前某个比配对男人高的配对女人，因为排过序，所以第\(i\)个女人肯定比这个配对男人高，而那个配对女人肯定不高于第\(i\)个男人。这一类方案数为\(j\)。

另一种情况是第\(i\)个女人替换了之前某个不矮于第\(i\)个女人的配对男人的配对女人。这与\(j\)无关，枚举\(i\)的时候可以直接统计，不妨设为\(t\)。

显然两种情况不可能重合（重合意味着存在一个比第\(i\)个女人高的配对男人，他的配对女人比他高，那就更比第\(i\)个女人高，但实际上我们是排过序了的），所以总方案数就是\(j+t\)。

而对数变化\(1\)的情况就是第\(i\)个女人总共\(i\)种配对方案减去对数不变的方案，即\(i-j-t\)。

综上，得到：

\[f_{i,j}=(j+t)\times f_{i-1,j}+(i-(j-1)-t)\times f_{i-1,j-1} \]

第\(i\)个男人矮于第\(i\)个女人

其实也是类似的，同样先考虑对数不变。

那么这个女人必须要替换之前某一对男女，满足配对男人矮于配对女人，且配对女人不高于当前男人。

满足配对男人矮于配对女人的对数是\(j\)，而我们考虑配对女人高于当前男人的必然更高于配对男人（假设这部分人数为\(t\)），也就是说这\(t\)种不满足条件的情况是被完全包含在这\(j\)种情况当中的，所以满足条件的方案数就应该是\(j-t\)。

对数变化\(1\)的情况仍旧是第\(i\)个女人总共\(i\)种配对方案减去对数不变的方案，即\(i-j+t\)。

综上，得到：

\[f_{i,j}=(j-t)\times f_{i-1,j}+(i-(j-1)+t)\times f_{i-1,j-1} \]

Python

由于这道题并没有给出模数，刚好最近在学习Python，所以偷懒了一些就直接用Python了。

然而似乎因为对Python部分语法理解不够透彻，反而浪费了更长的时间。

代码：\(O(n^2)\)

st=input().split()
n=int(st[0])
k=int(st[1])
a=[0 for i in range(n+1)]
for i in range(n):
    a[i]=int(input())
b=[0 for i in range(n+1)]
for i in range(n):
    b[i]=int(input())
a.sort()#排序
b.sort()#排序
f=[[0 for i in range(n+5)] for j in range(n+5)]
f[0][0]=1#初始状态
for i in range(1,n+1):
    if(a[i]>=b[i]):#如果第i个男人不矮于第i个女人
        t=0
        for j in range(1,i+1):
            t+=(a[j]>=b[i])#统计之前不矮于比第i个女人的男人数量
        for j in range(0,i+1):
            f[i][j]+=(j+t)*f[i-1][j]#对数不变
        for j in range(1,i-t+1):
            f[i][j]+=(i-(j-1)-t)*f[i-1][j-1]#对数变化1
    else:#如果第i个男人矮于第i个女人
        t=0
        for j in range(1,i):
            t+=(b[j]>a[i])#统计之前高于第i个男人的女人数量
        for j in range(t,i+1):
            f[i][j]+=(j-t)*f[i-1][j]#对数不变
        for j in range(1,i+1):
            f[i][j]+=(i-(j-1)+t)*f[i-1][j-1]#对数变化1
t=0
for i in range(k+1):
    t+=f[n][i]#统计答案
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