【BZOJ1022】[SHOI2008] 小约翰的游戏（Anti-Nim）

点此看题面

大致题意： 与普通\(Nim\)游戏相比，改为拿到最后一个石子的人输，求谁有必胜策略。

前言

为做一道博弈论的题目开始恶补博弈论。。。

感觉现在理解能力不太行，就这么简单一道题看题解还看了半天。。。

分类讨论

对于这道题，我们需要分三类进行讨论：

1. 每堆只有一个石子。显然此时每人每次必然是将一堆取走，因此偶数堆时先手赢，奇数堆时后手赢。若用\(SG\)函数表示，则\(SG=0\)时先手赢，\(SG>0\)时后手赢。
2. 只有一堆石子个数大于\(1\)。则假如除此之外还剩奇数堆石子（个数都为\(1\)），先手可以把这堆石子取完；假如除此之外还剩偶数堆石子，先手可以留下\(1\)个石子。两种方式都把局面转化成了第一种情况里奇数堆的情况，因此先手（后手的后手）就必胜了。若用\(SG\)函数表示，显然一个大于\(1\)的数和若干\(1\)的异或值大于\(0\)，因此\(SG>0\)时先手赢。
3. 有大于一堆石子个数大于\(1\)，即一般情况。考虑在不断取石子的过程中，必然有某一刻第三类情况被转化为了第二类情况（注意，不可能直接跳过第二类转化为第一类情况），而第二类情况相当于是\(SG>0\)时获胜。因此，二人都需要尽可能使自己的\(SG\)值大于\(0\)，于是此时这个问题就变成了普通\(Nim\)游戏：\(SG>0\)时先手赢，\(SG=0\)时后手赢。

综上所述，先手赢的条件为每堆只有一个石子时\(SG=0\)，或存在石子个数大于\(1\)的堆时\(SG>0\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp tmeplate<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 50
using namespace std;
int n;
int main()
{
	RI Tt,i,x,SG,cnt;scanf("%d",&Tt);W(Tt--)
	{
		for(SG=cnt=0,scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&x),SG^=x,x>1&&++cnt;//统计SG值，cnt记录1的个数
		puts((cnt?SG:!SG)?"John":"Brother");//若有大于1的堆，则SG>0时先手胜；若无大于1的堆，则SG=0时先手胜
	}return 0;
}